Questâo : Verifique se a integral imprópria abaixo é convergente ou divergente. Em caso de convergencia determine seu valor. Justifique todas as passagens.
(1,5 pontos)
;
(1,5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolve tratamento de singularidade em
e integração por partes.
Passo 2
Para lidar com a descontinuidade em
, escrevemos a integral como limite:
Passo 3
Calculamos uma antiderivada de
por partes. Escolhemos
logo
Pela fórmula
, temos
Passo 4
Avaliamo-s a integral definida usando essa antiderivada:
Em
o termo
zera, ficando
Em
, como
quando
e também
, o limite é zero. Logo
Isso mostra que a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral é convergente e vale
.