3^{a} Questâo : Verifique se a integral imprópria abaixo é convergente ou divergente. Em caso de convergencia determine seu valor. Justifique todas as passagens.
(1,5 pontos) \int_{0}^{1} x^{2} \ln (x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{1}x^{2}\ln(x)\,dx
e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolve tratamento de singularidade em x=0 e integração por partes.

Passo 2

Para lidar com a descontinuidade em x=0, escrevemos a integral como limite:
I = \int_{0}^{1}x^{2}\ln(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{\varepsilon}^{1}x^{2}\ln(x)\,dx.

Passo 3

Calculamos uma antiderivada de x^{2}\ln(x) por partes. Escolhemos
u = \ln(x),\quad dv = x^{2}\,dx,
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du = \frac{1}{x}\,dx,\quad v = \frac{x^{3}}{3}.
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{x^{3}}{9} + C.

Passo 4

Avaliamo-s a integral definida usando essa antiderivada:
I = \lim_{\varepsilon\to0^{+}} \Bigl[\frac{x^{3}}{3}\ln(x)-\frac{x^{3}}{9}\Bigr]_{x=\varepsilon}^{x=1}.
Em x=1 o termo \ln(1) zera, ficando
\frac{1^{3}}{3}\ln(1)-\frac{1^{3}}{9} = 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9}.
Em x=\varepsilon, como \varepsilon^{3}\ln(\varepsilon)\to0 quando \varepsilon\to0^{+} e também \varepsilon^{3}/9\to0, o limite é zero. Logo
I = \Bigl(-\tfrac{1}{9}\Bigr) - 0 = -\frac{1}{9}.
Isso mostra que a integral converge e seu valor é -\tfrac{1}{9}.

Resposta

A integral é convergente e vale -\tfrac{1}{9}.

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