Questão 4 Encontre o menor valor de N para o qual podemos aproximar
\int_{0}^{2} \frac{1}{x+4} d x
com erro \leq 10^{-5} usando a regra de Simpson composta.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{2} \frac{1}{x+4}\,dx
pela regra de Simpson composta com erro no máximo 10^{-5}.
O conteúdo necessário é o critério de erro da regra de Simpson, que envolve a derivada quarta de f(x)=\tfrac{1}{x+4}, o tamanho de passo h e o número de subintervalos N.

Passo 2

Calculamos as derivadas até a quarta de f(x)= (x+4)^{-1}:
f'(x) = -\, (x+4)^{-2},\quad f''(x)=2\,(x+4)^{-3},\quad f'''(x)=-6\,(x+4)^{-4},\quad f^{(4)}(x)=24\,(x+4)^{-5}.
Em [0,2] temos x+4\in[4,6], logo o máximo de \lvert f^{(4)}(x)\rvert ocorre em x=0:
M_4 = \max_{0\le x\le2}\lvert f^{(4)}(x)\rvert = 24\cdot 4^{-5} = \frac{24}{1024} = 0,0234375.

Passo 3

O erro da fórmula composta de Simpson satisfaz
\bigl\lvert E_S\bigr\rvert \le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,M_4,
onde a=0, b=2, h=\frac{2}{N} e M_4=0,0234375. Assim
\frac{2}{180}\,h^{4}\,M_4 \le 10^{-5} \;\Longrightarrow\; h^{4} \le \frac{180\cdot10^{-5}}{2\,M_4} = \frac{9\cdot10^{-4}}{M_4} =0,0384 \;\Longrightarrow\; h \le 0,0384^{1/4}\approx0,4428.
Como h=2/N, temos
N \ge \frac{2}{0,4428}\approx4{,}52.
A regra de Simpson exige N par, logo o menor N inteiro par que satisfaz é N=6.

Resposta

N=6

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