Um engenheiro deseja construir um arco que tem a forma da parábola y=3 x-0,1 x^{2} entre os pontos x=0 e x=30. Encontre o comprimento do arco dado por
I=\int_{0}^{30} \sqrt{1+(3-0,2 x)^{2}} d x
usando a regra 3 / 8 de Simpson \operatorname{com} N=6.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da parábola y=3x-0,1x^2 entre x=0 e x=30, dado por
I = \int_{0}^{30} \sqrt{1 + \bigl(3 - 0,2x\bigr)^{2}}\;dx.
Para aproximar esse integral, vamos usar a regra composta de Simpson \tfrac{3}{8} com N=6 subintervalos. Assim:
h = \frac{30-0}{6} = 5,
e denotamos f(x)=\sqrt{1+(3-0,2x)^{2}}.

Passo 2

Construímos a tabela de x_i e f_i=f(x_i) para i=0,1,\dots,6, com x_i = 5i:
\begin{array}{c|c|c} i & x_i & f_i = \sqrt{1+(3-0,2x_i)^{2}} \\\ \hline 0 & 0 & \sqrt{1+3^2} = \sqrt{10} \approx 3{,}1623 \\\\ 1 & 5 & \sqrt{1+2^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}2361 \\\\ 2 & 10 & \sqrt{1+1^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \\\\ 3 & 15 & \sqrt{1+0^2} = 1 \\\\ 4 & 20 & \sqrt{1+(-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \\\\ 5 & 25 & \sqrt{1+(-2)^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}2361 \\\\ 6 & 30 & \sqrt{1+(-3)^2} = \sqrt{10} \approx 3{,}1623 \end{array}

Passo 3

A fórmula composta de Simpson \tfrac{3}{8} para n=6 é
\int_{0}^{30} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Bigl[f_0 + f_6 \;+\; 3\sum_{\substack{i=1\i\not\equiv0\pmod3}}^{5} f_i \;+\; 2\sum_{\substack{i=3\i\equiv0\pmod3}}^{3} f_i\Bigr].
Aqui
f_0+f_6 \approx 3{,}1623 + 3{,}1623 = 6{,}3246,
\sum_{i=1,2,4,5} f_i \approx 2{,}2361 + 1{,}4142 + 1{,}4142 + 2{,}2361 = 7{,}3006,
\sum_{i=3} f_i = 1.

Passo 4

Agora substituímos em
\int_{0}^{30} f(x)\,dx \approx \frac{3\cdot5}{8}\Bigl[6{,}3246 + 3\cdot7{,}3006 + 2\cdot1\Bigr] = \frac{15}{8}\bigl[6{,}3246 + 21{,}9018 + 2\bigr] = \frac{15}{8}\cdot30{,}2264 \approx 56{,}67.

Resposta

O comprimento do arco, aproximado pela regra de Simpson \tfrac{3}{8} com N=6, é
I \approx 56{,}67.

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