Considere o sistema linear A x=b em que
A=(ccc 10 & -1 & 4 1 & 10 & 9 2 & -3 & -10 ), b=(l 5 2 9 )
Dos dois métodos iterativos, Jacobi e Gauss, qual deles você aplicaria, por quê? Resolva-o pelo método escolhido com varepsilon<10^-2 na norma do máximo.

Passo 1

Temos o sistema linear Ax=b com
A=10 & -1 & 4 1 & 10 & 9 2 & -3 & -10, b=529
O conteúdo é métodos iterativos (Jacobi e Gauss–Seidel) e critério de parada na norma do máximo com varepsilon<10^-2. Vamos precisar testar a convergência e escolher o método mais apropriado.

Passo 2

Analisamos a matriz A quanto à convergência. Observamos que ela é estritamente diagonalmente dominante nas linhas 1 e 3 e apenas dominante (não estrita) na linha 2:
|a11|=10>|-1|+|4|=5, |a22|=10=|1|+|9|=10, |a33|=10>|2|+|-3|=5
Isso garante convergência do método de Gauss–Seidel, que geralmente converge mais rápido que Jacobi nessas condições.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel:
x1^(k+1)=5 + x2^(k) - 4,x3^(k)10, x2^(k+1)=2 - x1^(k+1) - 9,x3^(k)10, x3^(k+1)=2,x1^(k+1) - 3,x2^(k+1) - 910
Usamos o palpite inicial x^(0)=(0,0,0)^T e paramos quando |x^(k+1)-x^(k)|infty<10^-2.

Passo 4

Realizando as iterações obtemos:
x^(1)=(0,5000,,0,1500,,-0,8450), ;x^(2)=(0,8530,,0,8752,,-0,99196), ;x^(3)=(0,98430,,0,99433,,-1,00134),
x^(4)=(0,99997,,1,00121,,-1,00037), x^(5)=(1,00027,,1,00031,,-1,00004)
Na iteração 5 vemos
|x^(5)-x^(4)|inftyapprox9,0times10^-4<10^-2, logo paramos aqui.

Resposta

xapprox1,000271,00031-1,00004

Exercícios relacionados