Supomos que o sistema linear
x1-alpha x2 & =c1 -alpha x1+x2-alpha x3 & =c2 -alpha x2+x3 & =c3
seja resolvido iterativamente pelas fórmulas
x1^(k+1) & =alpha x2^(k)+c1 x2^(k+1) & =alpha(x1^(k)+x3^(k))+c2 x3^(k+1) & =alpha x2^(k)+c3
Para que valores de alpha a convergência do método acima é garantida? Justifique.

Passo 1

Resumo: Temos um sistema linear 3×3 parametrizado por α e as fórmulas de iteração do tipo Jacobi: x^{(k+1)}=B x^{(k)}+c. O conteúdo principal é análise de convergência de iteração fixa, que pede ρ(B)<1 (onde ρ é o raio espectral). Vamos montar a matriz de iteração B e achar seus autovalores.

Passo 2

A partir das fórmulas iterativas, identificamos que x₁^{(k+1)}=α x₂^{(k)}+c₁, x₂{(k+1)}=α(x₁{(k)}+x₃^{(k)})+c₂, x₃^{(k+1)}=α x₂^{(k)}+c₃. Em forma matricial x^{(k+1)}=B x^{(k)}+c, com
B=alpha 0 & 1 & 01 & 0 & 10 & 1 & 0

Passo 3

Para convergência do método de Jacobi precisamos de ρ(B)<1. Como ρ(αA)=|α|·ρ(A), basta achar os autovalores de A= 0&1&01&0&10&1&0.
O autovalor λ de A satisfaz det(A−λI)=0. Esse é o grafo caminho com 3 nós, cujos autovalores são λ_j=2cos(jπ/4) para j=1,2,3, ou seja √2, 0 e −√2. Logo os autovalores de B são α·(√2), 0 e α·(−√2).

Passo 4

O raio espectral de B é ρ(B)=max|autovalor|=|α|√2. Impor ρ(B)<1 dá
|α|raiz2<1Longrightarrow |α|<1raiz2

Resposta

O método converge se e somente se |α|<1/√2.

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