Para que valores de a convergência do método acima é garantida? Justifique.
Passo 1
Resumo: Temos um sistema linear 3×3 parametrizado por α e as fórmulas de iteração do tipo Jacobi: x^{(k+1)}=B x^{(k)}+c. O conteúdo principal é análise de convergência de iteração fixa, que pede ρ(B)<1 (onde ρ é o raio espectral). Vamos montar a matriz de iteração B e achar seus autovalores.
Passo 2
A partir das fórmulas iterativas, identificamos que x₁^{(k+1)}=α x₂^{(k)}+c₁, x₂{(k+1)}=α(x₁{(k)}+x₃^{(k)})+c₂, x₃^{(k+1)}=α x₂^{(k)}+c₃. Em forma matricial x^{(k+1)}=B x^{(k)}+c, com
Passo 3
Para convergência do método de Jacobi precisamos de ρ(B)<1. Como ρ(αA)=|α|·ρ(A), basta achar os autovalores de A=0&1&01&0&10&1&0.
O autovalor λ de A satisfaz det(A−λI)=0. Esse é o grafo caminho com 3 nós, cujos autovalores são λ_j=2cos(jπ/4) para j=1,2,3, ou seja √2, 0 e −√2. Logo os autovalores de B são α·(√2), 0 e α·(−√2).
Passo 4
O raio espectral de B é ρ(B)=max|autovalor|=|α|√2. Impor ρ(B)<1 dá