Resolva o sistema
5 x1+2 x2+x3 & =-12 -x1+4 x2+2 x3 & =20 2 x1-3 x2+10 x3 & =3
por a)Decomposição LU b)Eliminação Gaussiana. Calcule o determinante da matriz de coeficientes por meio das decomposições.

Passo 1

Estamos com o sistema 3×3
5 x₁ + 2 x₂ + x₃ = –12, –x₁ + 4 x₂ + 2 x₃ = 20, 2 x₁ – 3 x₂ + 10 x₃ = 3
e aqui é pra usar decomposição LU (método de Doolittle), eliminação de Gauss e calcular o determinante.

Passo 2

Primeiro, definimos a matriz de coeficientes
A =
[ [5, 2, 1],
[–1, 4, 2],
[2, –3, 10] ]
E montamos L (com 1 na diagonal) e U. O pivô inicial é u₁₁ = 5, de onde
ℓ₂₁ = –1/5, ℓ₃₁ = 2/5.

Passo 3

Atualizando as linhas 2 e 3, obtemos
U =
[ [5, 2, 1],
[0, 22/5, 11/5],
[0, 0, 23/2] ],
L =
[ [1, 0, 0],
[–1/5, 1, 0],
[ 2/5, –19/22, 1] ].

Passo 4

Com LU em mãos, resolvemos Ly = b por substituição direta. Aqui b = (–12, 20, 3):
y₁ = –12,
y₂ = 20 – (–1/5)·(–12) = 88/5,
y₃ = 3 – (2/5)·(–12) – (–19/22)·(88/5) = 23.

Passo 5

Agora Ux = y:
x₃ = y₃/(23/2) = 2,
x₂ = (y₂ – (11/5)·x₃)/(22/5) = 3,
x₁ = (y₁ – 2·x₂ – 1·x₃)/5 = –4.

Passo 6

Para conferir, aplicamos eliminação de Gauss direta no sistema aumentado. Eliminamos abaixo do pivô 5 nas linhas 2 e 3, atualizamos, depois abaixo do pivô 22/5 na linha 3; por fim, voltamos para trás e encontramos x₁ = –4, x₂ = 3, x₃ = 2.

Passo 7

O determinante de A sai como det(A) = det(L)·det(U) = 1·(5·(22/5)·(23/2)) = 253.

Resposta

A solução é x₁ = –4, x₂ = 3, x₃ = 2 e det(A) = 253.

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