Prove que o método de Jacobi para sistemas de segunda ordem sempre converge se a matriz de coeficientes é positiva-definida.

Passo 1

Estamos resolvendo um sistema linear Ax=b que vem da discretização por diferenças finitas de uma equação diferencial de segunda ordem (por exemplo, u''=f em um domínio 1D). A matriz A resultante é tridiagonal, simétrica e definida-positiva (SPD), e queremos mostrar que o método de Jacobi converge. Vamos precisar do fato de que essa matriz é estritamente diagonalmente dominante e do cálculo explícito de seus autovalores.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o método de Jacobi. Separamos A=D-(L+U), onde D é a diagonal de A, L a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior. A iteração de Jacobi é
x^(k+1) = D^-1(L+U)x^(k) + D^-1b

Passo 3

O núcleo da convergência é o raio espectral da matriz de iteração T = D^-1(L+U). No caso tridiagonal típico (com diagonais 2 e sub/sobrediagonais -1), podemos usar a fórmula conhecida de autovalores. Para n equações, os autovalores de A são
lambdaj(A) = 2 - 2,cosl(tfracjpin+1r), j=1,2,dots,n

Passo 4

Como T = I - D^-1A, seus autovalores são
muj = 1 - tfrac12lambdaj(A) = 1 - l(1 - costfracjpin+1r) = cosl(tfracjpin+1r)

Passo 5

Portanto o raio espectral de T é
rho(T) = maxj|muj| = maxjl|cosl(tfracjpin+1r)r| = cosl(tfracpin+1r)

Passo 6

Como 0, temos cos(tfracpin+1)<1. Logo rho(T)<1 e o método de Jacobi converge.

Resposta

O método de Jacobi converge porque seu raio espectral é
rho(T) = cosl(tfracpin+1r) < 1

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