Prove que o método de Jacobi para sistemas de segunda ordem sempre converge se a matriz de coeficientes é positiva-definida.
Passo 1
Estamos resolvendo um sistema linear que vem da discretização por diferenças finitas de uma equação diferencial de segunda ordem (por exemplo, em um domínio 1D). A matriz resultante é tridiagonal, simétrica e definida-positiva (SPD), e queremos mostrar que o método de Jacobi converge. Vamos precisar do fato de que essa matriz é estritamente diagonalmente dominante e do cálculo explícito de seus autovalores.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o método de Jacobi. Separamos , onde é a diagonal de , a parte estritamente inferior e a parte estritamente superior. A iteração de Jacobi é
Passo 3
O núcleo da convergência é o raio espectral da matriz de iteração . No caso tridiagonal típico (com diagonais e sub/sobrediagonais ), podemos usar a fórmula conhecida de autovalores. Para equações, os autovalores de são
Passo 4
Como , seus autovalores são
Passo 5
Portanto o raio espectral de é
Passo 6
Como 0, temos cos(tfracpin+1)<1. Logo rho(T)<1 e o método de Jacobi converge.
Resposta
O método de Jacobi converge porque seu raio espectral é