Dado o sistema linear
5 x1+2 x2+x3 & =7 -x1+4 x2+2 x3 & =3 2 x1-3 x2+10 x3 & =-1
(a) Verifique a possibilidade de aplicação do método de Gauss-Seidel.
(b) Se possível, resolvê-lo pelo método de Gauss-Seidel com erro relativo varepsilon<10^-2 na norma do máximo.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
5x1+2x2+x3&=7 - x1+4x2+2x3&=3 2x1-3x2+10x3&=-1
O conteúdo é o método iterativo de Gauss–Seidel. Precisamos (a) verificar convergência e (b) iterar até que o erro relativo na norma do máximo seja menor que 10^-2.

Passo 2

Verificamos convergência pelo critério de diagonal dominante linha a linha. Em cada linha com coeficiente principal aii e soma dos demais em módulo:
Linha 1: |5|>2+1=3
Linha 2: |4|>1+2=3
Linha 3: |10|>2+3=5
Como todas satisfazem desigualdade estrita, o método de Gauss–Seidel converge.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas iterativas: para k=0,1,2,dots
x1^(k+1)=7-2x2^(k)-x3^(k)5,
x2^(k+1)=3 + x1^(k+1) -2x3^(k)4,
x3^(k+1)=-1 -2x1^(k+1) +3x2^(k+1)10

Passo 4

Tomando x^(0)=(0,0,0) e iterando, obtemos:
x^(1)=(1.40000,1.10000,-0.05000),
x^(2)=(0.97000,1.01750,0.01125),
x^(3)=(0.99075,0.99206,-0.00053),
x^(4)=(1.00328,1.00109,-0.00033),
x^(5)=(0.99963,1.00007,0.00010)
Calculamos o erro relativo na norma do máximo entre as iterações 4 e 5:
|x^(5)-x^(4)|infty|x^(5)|inftyapprox0.003651.00328approx0.00364<10^-2

Passo 5

Como o erro relativo já fica abaixo de 10^-2 na 5ª iteração, paramos o processo de Gauss–Seidel.

Resposta

Após 5 iterações obtemos:
x1approx0.99963, x2approx1.00007, x3approx9.5605times10^-5

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