(a) Verifique se há garantia de convergência do Método de Gauss-Seidel utilizando o critério de Sassenfeld.
(b) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Seidel com aproximação inicial x^{(0)}=(0,0,0)^{T}. Caso não haja garantia de convergência, realize no máximo 3 iterações. Caso contrário, utilize erro relativo de \epsilon<10^{-2} como critério de parada.
(a) Verificar se há garantia de convergência do método de Gauss–Seidel aplicando o critério de Sassenfeld.
(b) Resolver o sistema pelo método de Gauss–Seidel com aproximação inicial x^{(0)}=(0,0,0)^{T}. Se não houver garantia, realizar no máximo 3 iterações; se houver garantia, usar critério de parada de erro relativo \epsilon<10^{-2}.
As informações importantes que temos são os coeficientes da matriz A e o vetor b extraídos do sistema:
Interpretação simples: \beta_i mede o “peso” das outras incógnitas na linha i, usando valores já calculados (\beta_j para j<i) e assumindo peso 1 para coeficientes à direita.
Regra prática: se \max_i \beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução a partir de qualquer aproximação inicial (há garantia). Se \max_i \beta_i\ge 1, o critério não garante convergência (pode até divergir).
Vou aplicar exatamente essa fórmula ao nosso A.
Passo 3
Cálculo explícito das \beta_i para a matriz dada (mostrando contas passo a passo):
Portanto \beta_1=3, \beta_2=7, \beta_3=27 e \max_i\beta_i=27\ge 1. Conclusão imediata: o critério de Sassenfeld NÃO assegura convergência do método de Gauss–Seidel para este sistema.
Passo 4
Explicando o método de Gauss–Seidel (mini-aula prática, para usar na prova):
Ideia: reescrever cada equação isolando a incógnita correspondente (isolando x_i na linha i) e iterar usando, a cada passo, os valores já atualizados para as incógnitas anteriores na mesma iteração e os valores antigos para as posteriores.
A partir do nosso sistema, isolem-se x_1,x_2,x_3 nas respectivas equações:
onde x_j^{(\ast)} significa usar o valor mais recente disponível: se já foi atualizado nesta iteração usa-se x_j^{(k+1)}, caso contrário o valor antigo x_j^{(k)}. No nosso caso, seguindo a ordem 1,2,3: para calcular x_1^{(k+1)} usamos x_2^{(k)} e x_3^{(k)}; para x_2^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)} e x_3^{(k)}; para x_3^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)}.
Passo 5
Decisão prática para (b): como o critério de Sassenfeld NÃO garante convergência, o enunciado pede para realizar no máximo 3 iterações a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}. Vamos calcular as três iterações com contas mostradas.
Interpretação e comentário final (conforto e orientação para a prova):
Os valores mostram crescimento / oscilações muito grandes em módulo: x^{(0)}\to x^{(1)}\to x^{(2)}\to x^{(3)} não se aproximam de um vetor estável, pelo contrário explodem em magnitude. Isso está de acordo com o fato de que o critério de Sassenfeld não garante convergência; aqui o método tende a divergir (ou pelo menos não converge rapidamente).
Se o critério tivesse dado \max\beta_i<1, o procedimento de Gauss–Seidel seria o mesmo, mas aí usaríamos como critério de parada o erro relativo pedido:
onde a norma pode ser, por exemplo, a norma infinito (máximo valor absoluto das componentes) na prática de prova. Mas como não há garantia, seguimos a instrução de fazer no máximo 3 iterações e mostrei todas elas detalhadamente.
Resposta
(a) Não há garantia de convergência pelo critério de Sassenfeld: \beta_1=3, \beta_2=7, \beta_3=27 (portanto \max_i\beta_i=27\ge 1).
(b) Como não há garantia, realizei 3 iterações com x^{(0)}=(0,0,0)^{T}. Os resultados foram: x^{(1)}=\big(\tfrac{7}{2},\tfrac{13}{2},\tfrac{23}{2}\big)^{T}=\big(3{,}5,6{,}5,11{,}5\big)^{T}, x^{(2)}=\big(-\tfrac{37}{2},-\tfrac{123}{2},-\tfrac{297}{2}\big)^{T}=\big(-18{,}5,-61{,}5,-148{,}5\big)^{T}, x^{(3)}=\big(\tfrac{463}{2},\tfrac{1657}{2},\tfrac{4043}{2}\big)^{T}=\big(231{,}5,828{,}5,2021{,}5\big)^{T}.