Considere o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=7 \\\\ -x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=3 \\\\ 2 x_{1}-3 x_{2}+x_{3}=-1 \end{array}\right.
(a) Verifique se há garantia de convergência do Método de Gauss-Seidel utilizando o critério de Sassenfeld.
(b) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Seidel com aproximação inicial x^{(0)}=(0,0,0)^{T}. Caso não haja garantia de convergência, realize no máximo 3 iterações. Caso contrário, utilize erro relativo de \epsilon<10^{-2} como critério de parada.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=7,\\\\ - x_{1}+ x_{2}+4 x_{3}=3,\\\\ 2 x_{1}-3 x_{2}+ x_{3}=-1, \end{array}\right.
e pede duas coisas:
  • (a) Verificar se há garantia de convergência do método de Gauss–Seidel aplicando o critério de Sassenfeld.
  • (b) Resolver o sistema pelo método de Gauss–Seidel com aproximação inicial x^{(0)}=(0,0,0)^{T}. Se não houver garantia, realizar no máximo 3 iterações; se houver garantia, usar critério de parada de erro relativo \epsilon<10^{-2}.
As informações importantes que temos são os coeficientes da matriz A e o vetor b extraídos do sistema:
A=\begin{pmatrix}2 & 5 & 1 \\\\ -1 & 1 & 4 \\\\ 2 & -3 & 1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}7\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 2

O que é o critério de Sassenfeld (aula rápida, sem jargões):
  • Tomando o sistema A x=b com A=(a_{ij}) e assumindo a_{ii}\neq0 para todo i, define-se uma sequência de números \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n assim:
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^{n}|a_{1j}|,
e, em geral,
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\right).
  • Interpretação simples: \beta_i mede o “peso” das outras incógnitas na linha i, usando valores já calculados ( \beta_j para j<i) e assumindo peso 1 para coeficientes à direita.
  • Regra prática: se \max_i \beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução a partir de qualquer aproximação inicial (há garantia). Se \max_i \beta_i\ge 1, o critério não garante convergência (pode até divergir).
Vou aplicar exatamente essa fórmula ao nosso A.

Passo 3

Cálculo explícito das \beta_i para a matriz dada (mostrando contas passo a passo):
  • Para i=1:
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^{3}|a_{1j}|=\frac{1}{|2|}\big(|5|+|1|\big)=\frac{6}{2}=3.
  • Para i=2:
    usar \beta_1 no somatório à esquerda:
\beta_2=\frac{1}{|a_{22}|}\Big(|a_{21}|\beta_1+\sum_{j=3}^{3}|a_{2j}|\Big) =\frac{1}{|1|}\big(|-1|\cdot 3 + |4|\big)=3+4=7.
  • Para i=3:
    usar \beta_1 e \beta_2:
\beta_3=\frac{1}{|a_{33}|}\big(|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2\big) =\frac{1}{|1|}\big(|2|\cdot 3 + |-3|\cdot 7\big)=6+21=27.
Portanto \beta_1=3, \beta_2=7, \beta_3=27 e \max_i\beta_i=27\ge 1. Conclusão imediata: o critério de Sassenfeld NÃO assegura convergência do método de Gauss–Seidel para este sistema.

Passo 4

Explicando o método de Gauss–Seidel (mini-aula prática, para usar na prova):
  • Ideia: reescrever cada equação isolando a incógnita correspondente (isolando x_i na linha i) e iterar usando, a cada passo, os valores já atualizados para as incógnitas anteriores na mesma iteração e os valores antigos para as posteriores.
  • A partir do nosso sistema, isolem-se x_1,x_2,x_3 nas respectivas equações:
2x_1+5x_2+x_3=7 \quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{1}{2}\big(7-5x_2-x_3\big),
- x_1+ x_2+4x_3=3 \quad\Rightarrow\quad x_2=3+x_1-4x_3,
2x_1-3x_2+x_3=-1 \quad\Rightarrow\quad x_3=-1-2x_1+3x_2.
  • Regra de atualização (Gauss–Seidel): na iteração k+1 calcular sequencialmente
x_1^{(k+1)}=\frac{1}{2}\big(7-5x_2^{(\ast)}-x_3^{(\ast)}\big),
x_2^{(k+1)}=3+x_1^{(k+1)}-4x_3^{(\ast)},
x_3^{(k+1)}=-1-2x_1^{(k+1)}+3x_2^{(k+1)},
onde x_j^{(\ast)} significa usar o valor mais recente disponível: se já foi atualizado nesta iteração usa-se x_j^{(k+1)}, caso contrário o valor antigo x_j^{(k)}. No nosso caso, seguindo a ordem 1,2,3: para calcular x_1^{(k+1)} usamos x_2^{(k)} e x_3^{(k)}; para x_2^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)} e x_3^{(k)}; para x_3^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)}.

Passo 5

Decisão prática para (b): como o critério de Sassenfeld NÃO garante convergência, o enunciado pede para realizar no máximo 3 iterações a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^{T}. Vamos calcular as três iterações com contas mostradas.
Iteração 1 (usar x^{(0)}=(0,0,0)):
  • Calcule x_1^{(1)}:
x_1^{(1)}=\frac{1}{2}\big(7-5\cdot 0-0\big)=\frac{7}{2}=3{,}5.
  • Calcule x_2^{(1)}:
x_2^{(1)}=3+x_1^{(1)}-4\cdot 0=3+\frac{7}{2}=\frac{13}{2}=6{,}5.
  • Calcule x_3^{(1)}:
x_3^{(1)}=-1-2x_1^{(1)}+3x_2^{(1)}=-1-2\cdot\frac{7}{2}+3\cdot\frac{13}{2}=-1-7+\frac{39}{2}=\frac{23}{2}=11{,}5.
Logo
x^{(1)}=\begin{pmatrix}\tfrac{7}{2}\\[4pt]\tfrac{13}{2}\\[4pt]\tfrac{23}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3{,}5\\[2pt]6{,}5\\[2pt]11{,}5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Iteração 2 (usar x^{(1)} como valores antigos quando necessário):
  • Calcule x_1^{(2)}:
x_1^{(2)}=\frac{1}{2}\big(7-5x_2^{(1)}-x_3^{(1)}\big) =\frac{1}{2}\Big(7-5\cdot\frac{13}{2}-\frac{23}{2}\Big) =\frac{1}{2}\Big(7-\frac{65}{2}-\frac{23}{2}\Big) =\frac{1}{2}\Big(7-\frac{88}{2}\Big) =\frac{1}{2}\Big(\frac{14-88}{2}\Big)=\frac{-37}{2}=-18{,}5.
  • Calcule x_2^{(2)}:
x_2^{(2)}=3+x_1^{(2)}-4x_3^{(1)} =3+\Big(-\frac{37}{2}\Big)-4\cdot\frac{23}{2} =3-\frac{37}{2}-\frac{92}{2} =3-\frac{129}{2}=-\frac{123}{2}=-61{,}5.
  • Calcule x_3^{(2)}:
x_3^{(2)}=-1-2x_1^{(2)}+3x_2^{(2)} =-1-2\Big(-\frac{37}{2}\Big)+3\Big(-\frac{123}{2}\Big) =-1+37-\frac{369}{2}=36-\frac{369}{2}=-\frac{297}{2}=-148{,}5.
Portanto
x^{(2)}=\begin{pmatrix}-\tfrac{37}{2}\\[4pt]-\tfrac{123}{2}\\[4pt]-\tfrac{297}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-18{,}5\\[2pt]-61{,}5\\[2pt]-148{,}5\end{pmatrix}.]

Passo 7

Iteração 3:
  • Calcule x_1^{(3)}:
x_1^{(3)}=\frac{1}{2}\big(7-5x_2^{(2)}-x_3^{(2)}\big) =\frac{1}{2}\Big(7-5\Big(-\frac{123}{2}\Big)-\Big(-\frac{297}{2}\Big)\Big) =\frac{1}{2}\Big(7+\frac{615}{2}+\frac{297}{2}\Big) =\frac{1}{2}\Big(7+\frac{912}{2}\Big) =\frac{1}{2}\cdot\frac{463}{1}=\frac{463}{2}=231{,}5.
  • Calcule x_2^{(3)}:
x_2^{(3)}=3+x_1^{(3)}-4x_3^{(2)} =3+\frac{463}{2}-4\Big(-\frac{297}{2}\Big) =3+\frac{463}{2}+\frac{1188}{2} =3+\frac{1651}{2}=\frac{1657}{2}=828{,}5.
  • Calcule x_3^{(3)}:
x_3^{(3)}=-1-2x_1^{(3)}+3x_2^{(3)} =-1-2\cdot\frac{463}{2}+3\cdot\frac{1657}{2} =-1-463+\frac{4971}{2} =-464+\frac{4971}{2}=\frac{4043}{2}=2021{,}5.
Assim
x^{(3)}=\begin{pmatrix}\tfrac{463}{2}\\[4pt]\tfrac{1657}{2}\\[4pt]\tfrac{4043}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}231{,}5\\[2pt]828{,}5\\[2pt]2021{,}5\end{pmatrix}.]

Passo 8

Interpretação e comentário final (conforto e orientação para a prova):
  • Os valores mostram crescimento / oscilações muito grandes em módulo: x^{(0)}\to x^{(1)}\to x^{(2)}\to x^{(3)} não se aproximam de um vetor estável, pelo contrário explodem em magnitude. Isso está de acordo com o fato de que o critério de Sassenfeld não garante convergência; aqui o método tende a divergir (ou pelo menos não converge rapidamente).
  • Se o critério tivesse dado \max\beta_i<1, o procedimento de Gauss–Seidel seria o mesmo, mas aí usaríamos como critério de parada o erro relativo pedido:
\frac{\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|}{\|x^{(k+1)}\|}<\epsilon,
onde a norma pode ser, por exemplo, a norma infinito (máximo valor absoluto das componentes) na prática de prova. Mas como não há garantia, seguimos a instrução de fazer no máximo 3 iterações e mostrei todas elas detalhadamente.

Resposta

(a) Não há garantia de convergência pelo critério de Sassenfeld: \beta_1=3, \beta_2=7, \beta_3=27 (portanto \max_i\beta_i=27\ge 1).
(b) Como não há garantia, realizei 3 iterações com x^{(0)}=(0,0,0)^{T}. Os resultados foram:
x^{(1)}=\big(\tfrac{7}{2},\tfrac{13}{2},\tfrac{23}{2}\big)^{T}=\big(3{,}5,6{,}5,11{,}5\big)^{T},
x^{(2)}=\big(-\tfrac{37}{2},-\tfrac{123}{2},-\tfrac{297}{2}\big)^{T}=\big(-18{,}5,-61{,}5,-148{,}5\big)^{T},
x^{(3)}=\big(\tfrac{463}{2},\tfrac{1657}{2},\tfrac{4043}{2}\big)^{T}=\big(231{,}5,828{,}5,2021{,}5\big)^{T}.

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