Considere o sistema linear A x=b,
[
\left[ rrrr 4 & -1 & 3 & 8 1 & 6 & 2 & -3 5 & 5 & 1 & 0 2 & 4 & -2 & 1 \right]\left[ l x1 x2 x3 x4 \right]=\left[ r 43 7 18 8 \right] .

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema linear 4×4, ou seja, quatro equações e quatro incógnitas ( x1,x2,x3,x4). O conteúdo é eliminação de Gauss (também chamada método das operações elementares em matrizes). Vamos precisar:
  • Montar a matriz aumentada [Amid b].
  • Fazer pivotes (usar uma linha pra zerar abaixo dela).
  • Continuar até ficar triangular (zeros abaixo da diagonal principal).
  • Fazer substituição reversa pra achar x4,x3,x2,x1.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada:
[rrrr|r 4 & -1 & 3 & 8 & 43 1 & 6 & 2 & -3 & 7 5 & 5 & 1 & 0 & 18 2 & 4 & -2 & 1 & 8 ]
Agora, para eliminar tudo que tá abaixo do primeiro pivô (que é 4 na posição (1,1)), fazemos:
  • R2 R2-tfrac14,R1
  • R3 R3-tfrac54,R1
  • R4 R4-tfrac12,R1
Isso dá:
[rrrr|r 4 & -1 & 3 & 8 & 43 0 & 6.25 & 1.25 & -5 & -3.75 0 & 6.25 & -2.75 & -10 & -35.75 0 & 4.5 & -3.5 & -3 & -13.5 ]

Passo 3

Agora a gente foca no pivô da segunda linha, que é 6.25 em (2,2). Primeiro divide toda a linha 2 por 6.25:
R2 16.25R2;Longrightarrow; [0;;1;;0.2;;-0.8mid -0.6]
Em seguida, zera elemento (3,2) e (4,2) usando R2:
  • R3 R3-6.25,R2
  • R4 R4-4.5,R2
Fica:
[rrrr|r 4 & -1 & 3 & 8 & 43 0 & 1 & 0.2 & -0.8 & -0.6 0 & 0 & -4 & -5 & -32 0 & 0 & -4.4 & 0.6 & -10.8 ]

Passo 4

Pra pivô em (3,3) usamos o -4. Divide a linha 3 por -4:
R3 1-4R3;Longrightarrow; [0;0;1;1.25mid 8]
Agora zera em (4,3):
R4 R4+4.4,R3;Longrightarrow; [0;0;0;6.1mid 24.4]
Então chegamos a:
[rrrr|r 4 & -1 & 3 & 8 & 43 0 & 1 & 0.2 & -0.8 & -0.6 0 & 0 & 1 & 1.25 & 8 0 & 0 & 0 & 6.1 & 24.4 ]

Passo 5

Agora é só substituição reversa:
  1. Da quarta linha: 6.1,x4=24.4;Rightarrow;x4=4.
  2. Terceira linha: x3+1.25,x4=8;Rightarrow;x3+1.25cdot4=8;Rightarrow;x3=3.
  3. Segunda linha: x2+0.2,x3-0.8,x4=-0.6;Rightarrow;x2+0.2cdot3-0.8cdot4=-0.6;Rightarrow;x2=2.
  4. Primeira linha: 4x1 - x2 +3x3 +8x4=43;Rightarrow;4x1 -2 +9 +32=43;Rightarrow;4x1=4;Rightarrow;x1=1.

Resposta

x = 1234.

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