Considere o sistema linear:
r l l x 1 - x 2 + x 3 & = & 2 x 1 + 2 x 2 + a x 3 & = & - 1 2 x 1 + 3 x 2 + a x 3 & = & a rll x1-x2+x3 & = & 1 x1+x2+a x3 & = & 1 x1-a x2+x3 & = & a
Determine para quais valores de a o sistema não tem solução utilizando a eliminação de Gauss.

Passo 1

O enunciado apresenta dois sistemas lineares, cada um em (x1,x2,x3) e parametrizado por a. Nosso objetivo é aplicar a eliminação de Gauss em cada sistema para descobrir para quais valores de a ele fica inconsistente (sem solução).

Passo 2

Analisando o primeiro sistema
x1-x2+x3=2, x1+2x2+a,x3=-1, 2x1+3x2+a,x3=a,
escrevemos a matriz aumentada e eliminamos:
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 2 1 & 2 & a & -1 2 & 3 & a & a ] ;xrightarrowR2>=ts R2-R1,;R3>=ts R3-2R1; [ccc|c 1 & -1 & 1 & 2 0 & 3 & a-1 & -3 0 & 5 & a-2 & a-4 ]
Depois eliminamos na terceira linha usando R2:
R3>=ts R3-tfrac53R2 ;longrightarrow; [ccc|c 1 & -1 & 1 & 2 0 & 3 & a-1 & -3 0 & 0 & -2a-13 & a+1 ]
A última linha dá
-2a-13,x3 = a+1
Para que haja inconsistência precisamos de coeficiente zero e termo independente não zero:
-2a-1=0e a+1neq0 ;Longrightarrow; a=-tfrac12e a+1=tfrac12neq0
Logo, o primeiro sistema não tem solução exatamente para a=-tfrac12.

Passo 3

Agora o segundo sistema
x1-x2+x3=1, x1+x2+a,x3=1, x1-a,x2+x3=a,
montamos a matriz aumentada e eliminamos x1:
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 1 1 & 1 & a & 1 1 & -a & 1 & a ] ;xrightarrowR2>=ts R2-R1,;R3>=ts R3-R1; [ccc|c 1 & -1 & 1 & 1 0 & 2 & a-1 & 0 0 & 1-a & 0 & a-1 ]
A terceira linha equivale a
(1-a)x2 = a-1 ;Long<=ftrightarrow;-(a-1)x2 = a-1
Se aneq1 então x2=-1 e segue solução única. Se a=1 ambas as equações de x2 viram 0=0, havendo soluções infinitas. Em nenhum caso surge uma contradição do tipo 0=constanteneq0, logo o segundo sistema sempre tem solução.

Resposta

Primeiro sistema: não tem solução para a=-tfrac12.
Segundo sistema: não existe valor de a que torne o sistema sem solução.

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