Eduíno estudou Computação Numérica na ECT e tem vários conhecimentos sobre sistemas.
(a) Dado o sistema abaixo,
\begin{cases}4 x_{1}+5.34 x_{2}+0.87 x_{3} & =7.5 \\\\ 5.34 x_{1}+7.71 x_{2}+0.62 x_{3} & =9.18 \\\\ 0.87 x_{1}+0.62 x_{2}+0.70 x_{3} & =2.41\end{cases}
Utilize a eliminação de Gauss com pivotação completa para encontrar a solução.
(b) Caso o sistema encontrado seja:
\begin{cases}4 x_{1}+0.87 x_{2} & =2.33 \\\\ 0.87 x_{1}+0.70 x_{2} & =0.26\end{cases}
Verifique se é possível decompor a matriz de coeficientes desse sistema em LU e, caso seja possível, resolva o sistema utilizando as matrizes LU decompostas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Resolver o sistema
\begin{cases} 4 x_{1}+5,34 x_{2}+0,87 x_{3}=7,5,\\[4pt] 5,34 x_{1}+7,71 x_{2}+0,62 x_{3}=9,18,\\[4pt] 0,87 x_{1}+0,62 x_{2}+0,70 x_{3}=2,41, \end{cases}
utilizando eliminação de Gauss com pivotação completa (ou seja: em cada etapa escolhemos o elemento de maior módulo na submatriz restante, e fazemos trocas de linhas e colunas quando necessário — lembrando de registrar a permutação de colunas para reconstruir os [x_i) originais).
(b) Para o sistema reduzido
\begin{cases} 4 x_{1}+0,87 x_{2}=2,33,\\[4pt] 0,87 x_{1}+0,70 x_{2}=0,26, \end{cases}
verificar se dá para fazer decomposição LU sem pivotação (isto é, sem trocar linhas) e, se possível, fazer A=LU\] e resolver \(Ax=b via Ly=b e Ux=y.
Todas as entradas numéricas do enunciado foram consideradas como dadas acima.]

Passo 2

Breve explicação didática do que vamos usar (pivotação completa e fórmulas):
  • Pivotação completa: em cada etapa k (começando em k=1) olhamos a submatriz A_{k:n,k:n}, encontramos o elemento de maior módulo a_{p,q} nessa submatriz. Trocamos a linha k com a linha correspondente a p e trocamos a coluna k com a coluna correspondente a q. Isso coloca o maior elemento na posição (k,k). Devemos registrar a permutação de colunas, porque trocar colunas muda a ordem das incógnitas.
  • Eliminação: após ter o pivô a_{kk} em (k,k), para cada linha i>k usamos o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
subtraímos m_{ik} vezes a linha k da linha i. Isso zera a_{ik}. Os m_{ik} formam a parte abaixo da diagonal da matriz L se quisermos reconstruir L.
  • Retro-substituição: depois de triangularizar (obter matriz triangular superior U), resolvemos Ux=y por retro-substituição. Se houve permutação de colunas, no final reordenamos as componentes de x de acordo com a permutação inversa para obter as x_i na ordem original.
Agora aplico passo a passo ao sistema.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada inicial [A\mid b]:
A=\begin{pmatrix} 4 & 5,34 & 0,87\\[4pt] 5,34 & 7,71 & 0,62\\[4pt] 0,87 & 0,62 & 0,70 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}7,5\\[4pt]9,18\\[4pt]2,41\end{pmatrix}.
Procuramos o maior elemento em módulo em toda a matriz A. O maior elemento é 7,71 (posição original (2,2)). Com pivotação completa traremos esse elemento para a posição (1,1) trocando linha 1 com linha 2 e coluna 1 com coluna 2. Registro de permutação de colunas inicial: coluna nova 1 é a coluna original 2, coluna nova 2 é a coluna original 1, coluna nova 3 é a coluna original 3. Em notação de permutação de colunas: P_{\text{cols}}=[2,1,3].
Após trocar linha 1 \leftrightarrow linha 2 e coluna 1 \leftrightarrow coluna 2, a matriz aumentada fica
[A\mid b]\;\to\; \left(\begin{array}{ccc|c} 7,71 & 5,34 & 0,62 & 9,18\\[4pt] 0 & 0,30061 & 0,4405 & 1,1408\\[4pt] 0 & 0,4405 & 0,65015 & 1,6716 \end{array}\right).
(Os zeros na primeira coluna das linhas 2 e 3 aparecem depois de aplicar os multiplicadores; aqui eu já mostro o resultado da primeira etapa de eliminação — abaixo eu explico como obtive esses números.)]

Passo 4

Cálculo dos multiplicadores da primeira etapa (detalhado):
  • Pivô \,a_{11}=7,71.
  • Para a linha 2: m_{21}=\dfrac{5,34}{7,71}\approx0,6930.
    Aplicando a linha 2 := linha 2 - m_{21}\cdotlinha 1 obtém-se a_{22}^{(1)}=4 - m_{21}\cdot 5,34\approx 0,30061, \qquad a_{23}^{(1)}=0,87 - m_{21}\cdot 0,62\approx 0,4405,
b_2^{(1)}=7,5 - m_{21}\cdot 9,18\approx 1,1408.
  • Para a linha 3: m_{31}=\dfrac{0,62}{7,71}\approx0,08041.
    Aplicando a linha 3 := linha 3 - m_{31}\cdotlinha 1 obtém-se a_{32}^{(1)}=0,87 - m_{31}\cdot 5,34\approx 0,4405, \qquad a_{33}^{(1)}=0,70 - m_{31}\cdot 0,62\approx 0,65015,
b_3^{(1)}=2,41 - m_{31}\cdot 9,18\approx 1,6716.
(Os valores acima são arredondados para 5 casas decimais quando conveniente; os cálculos seguem as fórmulas mostradas.)

Passo 5

Agora pivotamos na submatriz 2:3,2:3. Nessa submatriz os valores são aproximadamente
\begin{pmatrix} 0,30061 & 0,4405\\[4pt] 0,4405 & 0,65015 \end{pmatrix},
o maior módulo é 0,65015 (posição atual (3,3)). Com pivotação completa trocamos linha 2 \leftrightarrow linha 3 e coluna 2 \leftrightarrow coluna 3. Atualizo a permutação de colunas: a partir de P_{\text{cols}}=[2,1,3] trocando as posições 2 e 3 obtemos P_{\text{cols}}=[2,3,1]. Após essas trocas a matriz aumentada fica (após zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna):
[A\mid b]\;\to\; \left(\begin{array}{ccc|c} 7,71 & 0,62 & 5,34 & 9,18\\[4pt] 0 & 0,65015 & 0,440579 & 1,6716\\[4pt] 0 & 0,44034 & 0,29938 & 1,1408 \end{array}\right).]

Passo 6

Eliminação na segunda etapa (detalhes dos cálculos):
  • Pivô de etapa 2: a_{22}\approx0,65015.
  • Multiplicador m_{32}=\dfrac{0,44034}{0,65015}\approx0,6777.
  • Atualizo a linha 3: linha3 := linha3 - m_{32}\cdotlinha2, obtendo a entrada final a_{33}^{(2)} e o termo b_3^{(2)}: a_{33}^{(2)}\approx 0,29938 - 0,6777\cdot 0,440579 \approx 0,00088,
b_3^{(2)}\approx 1,1408 - 0,6777\cdot 1,6716 \approx 0,00836.
Agora a matriz está triangular superior (com entradas muito pequenas na posição a_{33}, mas não nulas numericamente).

Passo 7

Retro-substituição na matriz triangular obtida (na ordem das colunas após as permutações):
A forma triangular superior (após as duas etapas e trocas de colunas/linhas) é aproximadamente
\begin{pmatrix} 7,71 & 0,62 & 5,34\\[4pt] 0 & 0,65015 & 0,440579\\[4pt] 0 & 0 & 0,00088 \end{pmatrix} \qquad\text{com}\qquad b^{(2)}\approx\begin{pmatrix}9,18\\[4pt]1,6716\\[4pt]0,00836\end{pmatrix}.
Denoto as incógnitas na ordem atual por (\tilde x_1,\tilde x_2,\tilde x_3) — lembre que devido às trocas de colunas elas correspondem às incógnitas originais na ordem [2,3,1], ou seja
\tilde x_1 = x_2^{(\text{original})},\quad \tilde x_2 = x_3^{(\text{original})},\quad \tilde x_3 = x_1^{(\text{original})}.
Resolvendo por retro-substituição:
  • \tilde x_3 = \dfrac{0,00836}{0,00088}\approx 9,489.
  • \tilde x_2 = \dfrac{1,6716 - 0,440579\cdot \tilde x_3}{0,65015} \approx \dfrac{1,6716 - 0,440579\cdot 9,489}{0,65015}\approx -3,859.
  • \tilde x_1 = \dfrac{9,18 - 0,62\cdot \tilde x_2 - 5,34\cdot \tilde x_3}{7,71} \approx \dfrac{9,18 - 0,62\cdot(-3,859) - 5,34\cdot 9,489}{7,71}\approx -5,075.]

Passo 8

Volto as incógnitas para a ordem original usando P_{\text{cols}}=[2,3,1]. Isso significa:
(x_1,x_2,x_3)_{\text{original}} = (\tilde x_3,\;\tilde x_1,\;\tilde x_2).
Portanto, a solução aproximada do sistema original (parte (a)) é
x_1\approx 9,489,\qquad x_2\approx -5,075,\qquad x_3\approx -3,859.
Verificação rápida (substituir na equação original) dá resíduos muito pequenos, confirmando que a solução está correta dentro do arredondamento.
Agora passo para a parte (b).

Passo 9

Escrevo o sistema 2×2 da parte (b) em forma matricial:
A=\begin{pmatrix}4 & 0,87\\[4pt]0,87 & 0,70\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2,33\\[4pt]0,26\end{pmatrix}.
Para aplicar decomposição LU sem pivotação (Doolittle) precisamos que o primeiro pivô a_{11}=4\neq0. Além disso, para que a fatoração sem trocas seja bem definida em cada passo, os menores principais (pivôs) não devem ser zero; aqui a_{11}=4\neq0 e o passo seguinte produz um u_{22} que veremos ser diferente de zero. Portanto a decomposição LU sem pivotação é possível.]

Passo 10

Faço a decomposição A=LU (Doolittle: L tem diagonais 1, U é triangular superior).
Fórmulas:
u_{11}=a_{11},\quad u_{12}=a_{12},\quad l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}},\quad u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}.
Cálculo numérico:
u_{11}=4,\qquad u_{12}=0,87,\qquad l_{21}=\frac{0,87}{4}=0,2175,
u_{22}=0,70-0,2175\cdot 0,87=0,70-0,189225=0,510775.
Assim
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0,2175 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}4 & 0,87\\[4pt]0 & 0,510775\end{pmatrix}.]

Passo 11

Resolver Ly=b (substituição direta) e depois Ux=y (retro-substituição).
Forward:
y_1=b_1=2,33,
y_2=b_2 - l_{21}y_1 = 0,26 - 0,2175\cdot 2,33 = 0,26 - 0,506775 = -0,246775.
Back:
x_2=\frac{y_2}{u_{22}}=\frac{-0,246775}{0,510775}\approx -0,48325,
x_1=\frac{y_1 - u_{12}x_2}{u_{11}}=\frac{2,33 - 0,87\cdot(-0,48325)}{4} =\frac{2,33 +0,4202275}{4}\approx 0,68756.
Assim a solução (parte (b)) é aproximadamente
x_1\approx 0,68756,\qquad x_2\approx -0,48325.

Resposta

(a) \;x_1\approx 9,489,\;x_2\approx -5,075,\;x_3\approx -3,859
(b) \;A=LU é possível com
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0,2175 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}4 & 0,87\\[4pt]0 & 0,510775\end{pmatrix},
e a solução é \;x_1\approx 0,68756,\;x_2\approx -0,48325.]

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