Verifique se é possível decompor a matriz de coeficientes desse sistema em LU e, caso seja possível, resolva o sistema utilizando as matrizes LU decompostas.
utilizando eliminação de Gauss com pivotação completa (ou seja: em cada etapa escolhemos o elemento de maior módulo na submatriz restante, e fazemos trocas de linhas e colunas quando necessário — lembrando de registrar a permutação de colunas para reconstruir os [x_i) originais).
verificar se dá para fazer decomposição LU sem pivotação (isto é, sem trocar linhas) e, se possível, fazer A=LU\] e resolver \(Ax=b via Ly=b e Ux=y.
Todas as entradas numéricas do enunciado foram consideradas como dadas acima.]
Passo 2
Breve explicação didática do que vamos usar (pivotação completa e fórmulas):
Pivotação completa: em cada etapa k (começando em k=1) olhamos a submatriz A_{k:n,k:n}, encontramos o elemento de maior módulo a_{p,q} nessa submatriz. Trocamos a linha k com a linha correspondente a p e trocamos a coluna k com a coluna correspondente a q. Isso coloca o maior elemento na posição (k,k). Devemos registrar a permutação de colunas, porque trocar colunas muda a ordem das incógnitas.
Eliminação: após ter o pivô a_{kk} em (k,k), para cada linha i>k usamos o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
subtraímos m_{ik} vezes a linha k da linha i. Isso zera a_{ik}. Os m_{ik} formam a parte abaixo da diagonal da matriz L se quisermos reconstruir L.
Retro-substituição: depois de triangularizar (obter matriz triangular superior U), resolvemos Ux=y por retro-substituição. Se houve permutação de colunas, no final reordenamos as componentes de x de acordo com a permutação inversa para obter as x_i na ordem original.
Procuramos o maior elemento em módulo em toda a matriz A. O maior elemento é 7,71 (posição original (2,2)). Com pivotação completa traremos esse elemento para a posição (1,1) trocando linha 1 com linha 2 e coluna 1 com coluna 2. Registro de permutação de colunas inicial: coluna nova 1 é a coluna original 2, coluna nova 2 é a coluna original 1, coluna nova 3 é a coluna original 3. Em notação de permutação de colunas: P_{\text{cols}}=[2,1,3].
Após trocar linha 1 \leftrightarrow linha 2 e coluna 1 \leftrightarrow coluna 2, a matriz aumentada fica
(Os zeros na primeira coluna das linhas 2 e 3 aparecem depois de aplicar os multiplicadores; aqui eu já mostro o resultado da primeira etapa de eliminação — abaixo eu explico como obtive esses números.)]
Passo 4
Cálculo dos multiplicadores da primeira etapa (detalhado):
Pivô \,a_{11}=7,71.
Para a linha 2: m_{21}=\dfrac{5,34}{7,71}\approx0,6930.
Aplicando a linha 2 := linha 2 -m_{21}\cdotlinha 1 obtém-sea_{22}^{(1)}=4 - m_{21}\cdot 5,34\approx 0,30061, \qquad a_{23}^{(1)}=0,87 - m_{21}\cdot 0,62\approx 0,4405,
b_2^{(1)}=7,5 - m_{21}\cdot 9,18\approx 1,1408.
Para a linha 3: m_{31}=\dfrac{0,62}{7,71}\approx0,08041.
Aplicando a linha 3 := linha 3 -m_{31}\cdotlinha 1 obtém-sea_{32}^{(1)}=0,87 - m_{31}\cdot 5,34\approx 0,4405, \qquad a_{33}^{(1)}=0,70 - m_{31}\cdot 0,62\approx 0,65015,
b_3^{(1)}=2,41 - m_{31}\cdot 9,18\approx 1,6716.
(Os valores acima são arredondados para 5 casas decimais quando conveniente; os cálculos seguem as fórmulas mostradas.)
Passo 5
Agora pivotamos na submatriz 2:3,2:3. Nessa submatriz os valores são aproximadamente
o maior módulo é 0,65015 (posição atual (3,3)). Com pivotação completa trocamos linha 2 \leftrightarrow linha 3 e coluna 2 \leftrightarrow coluna 3. Atualizo a permutação de colunas: a partir de P_{\text{cols}}=[2,1,3] trocando as posições 2 e 3 obtemos P_{\text{cols}}=[2,3,1]. Após essas trocas a matriz aumentada fica (após zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna):
Atualizo a linha 3: linha3 := linha3 -m_{32}\cdotlinha2, obtendo a entrada final a_{33}^{(2)} e o termo b_3^{(2)}:a_{33}^{(2)}\approx 0,29938 - 0,6777\cdot 0,440579 \approx 0,00088,
Agora a matriz está triangular superior (com entradas muito pequenas na posição a_{33}, mas não nulas numericamente).
Passo 7
Retro-substituição na matriz triangular obtida (na ordem das colunas após as permutações):
A forma triangular superior (após as duas etapas e trocas de colunas/linhas) é aproximadamente
Denoto as incógnitas na ordem atual por (\tilde x_1,\tilde x_2,\tilde x_3) — lembre que devido às trocas de colunas elas correspondem às incógnitas originais na ordem [2,3,1], ou seja
Para aplicar decomposição LU sem pivotação (Doolittle) precisamos que o primeiro pivô a_{11}=4\neq0. Além disso, para que a fatoração sem trocas seja bem definida em cada passo, os menores principais (pivôs) não devem ser zero; aqui a_{11}=4\neq0 e o passo seguinte produz um u_{22} que veremos ser diferente de zero. Portanto a decomposição LU sem pivotação é possível.]
Passo 10
Faço a decomposição A=LU (Doolittle: L tem diagonais 1, U é triangular superior).