Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
\begin{cases}1.85 x_{1}-0.40 x_{2}+2.33 x_{3} & =3.79 \\\ -0.40 x_{1}+1.51 x_{2}-0.69 x_{3} & =0.43 \\\ 2.33 x_{1}-0.69 x_{2}+4.00 x_{3} & =5.65\end{cases}
Supondo que um sistema modelado por um professor de CN resultou no seguinte conjunto de equações:
\begin{cases}4 x_{1}+41 x_{2} & =4.11 \\\ 41 x_{1}+537 x_{2} & =45.35\end{cases}
Resolva o sistema utilizando LU e calcule o resíduo provocado pelos arredondamentos.

Passo 1

Temos os sistemas dados. Primeiro (3×3):
\begin{cases} 1{,}85\,x_{1}-0{,}40\,x_{2}+2{,}33\,x_{3}=3{,}79\\[4pt] -0{,}40\,x_{1}+1{,}51\,x_{2}-0{,}69\,x_{3}=0{,}43\\[4pt] 2{,}33\,x_{1}-0{,}69\,x_{2}+4{,}00\,x_{3}=5{,}65 \end{cases}
E, o sistema do professor (2×2) que vamos resolver usando LU:
\begin{cases} 4\,x_{1}+41\,x_{2}=4{,}11\\[4pt] 41\,x_{1}+537\,x_{2}=45{,}35 \end{cases}
O que o enunciado pede (objetivos):
  1. Resolver o sistema 2\times2 acima utilizando decomposição LU.
  2. Calcular o resíduo provocado pelos arredondamentos (ou seja, calcular r=b-A\tilde{x}, onde \tilde{x} é a solução obtida quando simulamos aritmética arredondada).]

Passo 2

Escolha do método e regras de arredondamento.
  • Vamos usar decomposição LU na forma de Doolittle (sem pivotamento), apropriada porque a_{11}=4\neq 0 e a matriz é bem condicionada aqui.
  • Para simular o efeito dos arredondamentos pedirei explicitamente uma regra: vamos arredondar todas as operações intermedias para 3 algarismos significativos (isso é comum em exemplos didáticos e permite ver claramente o efeito do arredondamento). Sempre que eu escrever um número como resultado de uma operação intermédiária, estarei aplicando esse arredondamento.

Passo 3

Relembrando Doolittle para 2\times2. Para
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[2pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},
procuramos L e U tais que A=LU com
L=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]\ell_{21}&1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}\\[2pt]0&u_{22}\end{pmatrix}.
As fórmulas são
u_{11}=a_{11},\quad u_{12}=a_{12},\quad \ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}},\quad u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}.
Depois resolvemos Ly=b (substituição direta) e Ux=y (substituição regressiva).]

Passo 4

Decomposição LU com aritmética exacta (para referência):
Os coeficientes do sistema são a_{11}=4, a_{12}=41, a_{21}=41, a_{22}=537.
Calculemos:
u_{11}=4,\qquad u_{12}=41.
\ell_{21}=\frac{41}{4}=10{,}25.
u_{22}=537-10{,}25\cdot 41=537-420{,}25=116{,}75.
Logo (exacto):
L=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]10{,}25&1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}4&41\\[2pt]0&116{,}75\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolvendo Ly=b com aritmética exacta:
b=\begin{pmatrix}4{,}11\\[2pt]45{,}35\end{pmatrix}.
y_1=4{,}11.
y_2=45{,}35-10{,}25\cdot 4{,}11=45{,}35-42{,}1275=3{,}2225.
Logo y=\begin{pmatrix}4{,}11\\[2pt]3{,}2225\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolvendo Ux=y com aritmética exacta:
116{,}75\,x_2=3{,}2225 \quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{3{,}2225}{116{,}75}\approx 0{,}027601713.
4\,x_1+41\,x_2=4{,}11 \quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{4{,}11-41\,x_2}{4}\approx 0{,}744582442.
Assim a solução exacta (para referência) é aproximadamente
x\approx\begin{pmatrix}0{,}744582442\\[2pt]0{,}027601713\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora simulamos a mesma decomposição LU mas arredondando todas as operações intermédias para 3 algarismos significativos (3 s.f.).
Cálculo de \ell_{21}:
\ell_{21}=\frac{41}{4}=10{,}25\quad\text{(exacto)}\quad\xrightarrow{\text{3 s.f.}}\quad 10{,}3.
Mantemos u_{11}=4, u_{12}=41 (estes já com 3 s.f. de facto).
Cálculo de u_{22} com arredondamento:
\ell_{21}\cdot u_{12}=10{,}3\cdot 41=422{,}3\quad\xrightarrow{\text{3 s.f.}}\quad 422.
u_{22}=537-422=115\quad\text{(já com 3 s.f.)}.á
Logo, com arredondamento:
L_{\text{ar}}=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]10{,}3&1\end{pmatrix},\qquad U_{\text{ar}}=\begin{pmatrix}4&41\\[2pt]0&115\end{pmatrix}.]

Passo 8

Resolvendo L_{\text{ar}}\,y=b com arredondamento (3 s.f.):
y_1=b_1=4{,}11\quad(\text{já 3 s.f.}).á
\ell_{21}\cdot y_1=10{,}3\cdot 4{,}11=42{,}333\quad\xrightarrow{\text{3 s.f.}}\quad 42{,}3.
y_2=b_2-42{,}3=45{,}35-42{,}3=3{,}05\quad(\text{3 s.f.}).
Portanto y_{\text{ar}}=\begin{pmatrix}4{,}11\\[2pt]3{,}05\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resolvendo U_{\text{ar}}x=y_{\text{ar}} com arredondamento:
Primeiro x_2:
x_2=\frac{y_2}{u_{22}}=\frac{3{,}05}{115}=0{,}026521739\ldots\quad\xrightarrow{\text{3 s.f.}}\quad 0{,}0265.
Depois x_1:
u_{12}\cdot x_2=41\cdot 0{,}0265=1{,}0865\quad\xrightarrow{\text{3 s.f.}}\quad 1{,}09.
\text{numerador}=y_1-1{,}09=4{,}11-1{,}09=3{,}02\quad(\text{3 s.f.}).
x_1=\frac{3{,}02}{4}=0{,}755\quad(\text{3 s.f.}).
Portanto a solução obtida pela decomposição LU simulada com arredondamentos (3 s.f.) é
\tilde{x}=\begin{pmatrix}0{,}755\\[2pt]0{,}0265\end{pmatrix}.]

Passo 10

Cálculo do resíduo r=b-A\tilde{x} usando A e b exactos (ou seja, o resíduo mede o quanto A\tilde{x} difere de b por causa dos arredondamentos):
Calculemos A\tilde{x}:
\text{primeira componente: }4\cdot 0{,}755 + 41\cdot 0{,}0265 =3{,}02 + 1{,}0865 =4{,}1065.
\text{segunda componente: }41\cdot 0{,}755 + 537\cdot 0{,}0265 =30{,}955 + 14{,}2305 =45{,}1855.
Logo o resíduo
r=b-A\tilde{x}=\begin{pmatrix}4{,}11\\[2pt]45{,}35\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4{,}1065\\[2pt]45{,}1855\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0{,}0035\\[2pt]0{,}1645\end{pmatrix}.
Uma medida simples do tamanho do resíduo (norma infinita) é
\lVert r\rVert_{\infty}=\max(|0{,}0035|,|0{,}1645|)=0{,}1645.]

Resposta

\tilde{x}=\begin{pmatrix}0{,}755\\[2pt]0{,}0265\end{pmatrix}
r=b-A\tilde{x}=\begin{pmatrix}0{,}0035\\[2pt]0{,}1645\end{pmatrix}]

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