Considere o sistema linear (trabalhe com três casas decimais):
\left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 1 \\\\ 4 & -6 & -1 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 5 \\\\ 5 \\\\ -2 \end{array}\right]
a) Resolva-o pelo método de Eliminação de Gauss.
  • x_{1}=
  • x_{2}=
  • x_{3}=
    b) Calcule o determinante de \mathbf{A} usando a matriz triangular obtida no item a).
  • \operatorname{det}[\mathbf{A}]=

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear (vou copiar a matriz e o vetor dos termos independentes exatamente):
\left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 1 \\\\ 4 & -6 & -1 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 5 \\\\ 5 \\\\ -2 \end{array}\right].
O que é pedido:
  • (a) Resolver o sistema pelo método de Eliminação de Gauss (ou seja, transformar a matriz aumentada em triangular superior e então fazer substituição regressiva). Os resultados devem ser apresentados com três casas decimais.
  • (b) Calcular \operatorname{det}[\mathbf{A}] usando a matriz triangular obtida no item (a).
Informações relevantes dadas:
  • A matriz dos coeficientes é \mathbf{A}=\displaystyle\begin{bmatrix}2 & -3 & 1\\[2pt]4 & -6 & -1\\[2pt]1 & 2 & 1\end{bmatrix}.
  • O vetor dos termos independentes é \mathbf{b}=\displaystyle\begin{bmatrix}5\\[2pt]5\\[2pt]-2\end{bmatrix}.
  • Pedem resultado com três casas decimais.]

Passo 2

Breve explicação do método (didática): Eliminação de Gauss consiste em aplicar operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada (\mathbf{A}\,|\,\mathbf{b}) para obter uma matriz triangular superior. As operações elementares possíveis são:
  • trocar duas linhas (isso muda o sinal do determinante);
  • multiplicar uma linha por um escalar não-nulo (isso multiplica o determinante por esse escalar) — vamos evitar usar esse tipo quando possível;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra (isso não altera o determinante).
Após obter a matriz triangular superior, faz-se substituição regressiva (back-substitution): resolver a última equação para a última incógnita, substituir acima, e assim por diante.
Vou aplicar operações do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” (que não alteram o determinante) e uma troca de linhas (se necessária), registrando cada operação e seu efeito quando necessário.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 5\\[2pt] 4 & -6 & -1 & 5\\[2pt] 1 & 2 & 1 & -2 \end{array}\right].
Vamos zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (pivô inicial é 2 na linha 1).
Operação 1: R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}. Calculo entrada a entrada:
  • Primeira coluna: 4-2\cdot 2=0.
  • Segunda coluna: -6-2\cdot(-3)=-6+6=0.
  • Terceira coluna: -1-2\cdot 1=-1-2=-3.
  • Termo independente: 5-2\cdot 5=5-10=-5.
Após essa operação a linha 2 fica [0\;\;0\;\;-3\;|\;-5]. A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 5\\[2pt] 0 & 0 & -3 & -5\\[2pt] 1 & 2 & 1 & -2 \end{array}\right].
Obs.: essa operação não altera o determinante.]

Passo 4

Operação 2: zerar a entrada (3,1) usando a linha 1: R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{2}R_{1}.
Calculo:
  • Primeira coluna: 1-\tfrac{1}{2}\cdot 2=1-1=0.
  • Segunda coluna: 2-\tfrac{1}{2}\cdot(-3)=2+1{,}5=3{,}5. (vou usar vírgula decimal conforme pedido)
  • Terceira coluna: 1-\tfrac{1}{2}\cdot 1=1-0{,}5=0{,}5.
  • Termo independente: -2-\tfrac{1}{2}\cdot 5=-2-2{,}5=-4{,}5.
Agora a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 5\\[2pt] 0 & 0 & -3 & -5\\[2pt] 0 & 3{,}5 & 0{,}5 & -4{,}5 \end{array}\right].
Novamente, esta operação (somar múltiplo de uma linha) não altera o determinante.]

Passo 5

Agora queremos ter um pivô não-nulo na segunda linha, segunda coluna. Observamos que a entrada (2,2) atualmente é 0 e a entrada (3,2) é 3{,}5. Então fazemos uma troca de linhas para obter um pivô não nulo:
Operação 3: trocar R_{2} com R_{3}: R_{2}\leftrightarrow R_{3}.
A matriz aumentada passa a ser triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 5\\[2pt] 0 & 3{,}5 & 0{,}5 & -4{,}5\\[2pt] 0 & 0 & -3 & -5 \end{array}\right].
Importante: uma troca de linhas inverte o sinal do determinante (ou seja, se fizermos uma troca, \det da nova matriz é -\det da anterior). Até aqui realizámos exatamente uma troca de linhas, então houve uma inversão de sinal no determinante relativo à matriz original.
Observação: agora já temos uma matriz triangular superior (todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero), portanto podemos fazer substituição regressiva.]

Passo 6

Explicação rápida da substituição regressiva (didática): numa matriz triangular superior, as equações resultantes têm a forma
\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1,\\[2pt] a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2,\\[2pt] a_{33}x_3=b_3. \end{cases}
Resolve-se primeiro x_3 pela terceira equação, depois substitui-se em cima para achar x_2, e por fim x_1.
A partir da matriz triangular obtida, as equações são:
  • terceira linha: -3x_{3} = -5,
  • segunda linha: 3{,}5x_{2} + 0{,}5x_{3} = -4{,}5,
  • primeira linha: 2x_{1} -3x_{2} + 1x_{3} = 5.]

Passo 7

Resolver x_{3}:
-3x_{3} = -5 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}\approx 1{,}666666\ldots
Arredondando para três casas decimais: x_{3}=1{,}667.
Resolver x_{2} usando a segunda linha:
3{,}5x_{2}+0{,}5x_{3}=-4{,}5.
Isolando x_{2}:
x_{2}=\frac{-4{,}5-0{,}5x_{3}}{3{,}5}.
Substituindo x_{3}=\dfrac{5}{3} (usar valor exato na conta para maior precisão):
-4{,}5-0{,}5\cdot\frac{5}{3}=-\frac{9}{2}-\frac{5}{6}=-\frac{27}{6}-\frac{5}{6}=-\frac{32}{6}=-\frac{16}{3}.
Dividindo por 3{,}5=\dfrac{7}{2}:
x_{2}=\frac{-\tfrac{16}{3}}{\tfrac{7}{2}}=-\frac{16}{3}\cdot\frac{2}{7}=-\frac{32}{21}\approx -1{,}523809\ldots
Arredondando para três casas decimais: x_{2}=-1{,}524.
Resolver x_{1} usando a primeira linha:
2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=5 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{5+3x_{2}-x_{3}}{2}.
Substituindo os valores exatos x_{2}=-\dfrac{32}{21} e x_{3}=\dfrac{5}{3}:
Calculo do numerador:
5+3\left(-\frac{32}{21}\right)-\frac{5}{3}=5-\frac{96}{21}-\frac{5}{3}.
Colocando em denominador comum 21:
5=\frac{105}{21},\qquad -\frac{96}{21},\qquad -\frac{5}{3}=-\frac{35}{21}.
Somando: \dfrac{105}{21}-\dfrac{96}{21}-\dfrac{35}{21}=\dfrac{105-96-35}{21}=\dfrac{-26}{21}.
Então
x_{1}=\frac{-26/21}{2}=-\frac{26}{42}=-\frac{13}{21}\approx -0{,}6190476\ldots
Arredondando para três casas decimais: x_{1}=-0{,}619.
Recapitulando (com três casas decimais):
x_{1}=-0{,}619,\qquad x_{2}=-1{,}524,\qquad x_{3}=1{,}667.

Passo 8

Cálculo do determinante usando a matriz triangular obtida (didática):
  • Para uma matriz triangular superior \mathbf{U}, \det(\mathbf{U}) é o produto dos elementos da diagonal principal.
  • No processo de eliminação, usamos apenas operações que não alteram o determinante (somar múltiplos de uma linha a outra) e uma troca de linhas. Uma troca de linhas muda o sinal do determinante. Como fizemos exatamente uma troca de linhas, é preciso levar esse fato em conta.
A matriz triangular obtida é
\mathbf{U}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 1\\[2pt] 0 & 3{,}5 & 0{,}5\\[2pt] 0 & 0 & -3 \end{array}\right].
Produto das entradas da diagonal de \mathbf{U}:
\det(\mathbf{U})=2\cdot 3{,}5\cdot(-3)=2\cdot \tfrac{7}{2}\cdot(-3)=7\cdot(-3)=-21.
Como houve uma troca de linhas para chegar a \mathbf{U}, temos \det(\mathbf{U})=-\det(\mathbf{A}), isto é \det(\mathbf{A})=-\det(\mathbf{U}). Portanto
\det(\mathbf{A}) = -(-21)=21.
Apresentando com três casas decimais: \det[\mathbf{A}]=21{,}000.]

Resposta

x_{1}=-0{,}619
x_{2}=-1{,}524
x_{3}=1{,}667
\operatorname{det}[\mathbf{A}]=21{,}000

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