(a) Resolver o sistema pelo método de Eliminação de Gauss (ou seja, transformar a matriz aumentada em triangular superior e então fazer substituição regressiva). Os resultados devem ser apresentados com três casas decimais.
(b) Calcular \operatorname{det}[\mathbf{A}] usando a matriz triangular obtida no item (a).
Informações relevantes dadas:
A matriz dos coeficientes é \mathbf{A}=\displaystyle\begin{bmatrix}2 & -3 & 1\\[2pt]4 & -6 & -1\\[2pt]1 & 2 & 1\end{bmatrix}.
O vetor dos termos independentes é \mathbf{b}=\displaystyle\begin{bmatrix}5\\[2pt]5\\[2pt]-2\end{bmatrix}.
Pedem resultado com três casas decimais.]
Passo 2
Breve explicação do método (didática): Eliminação de Gauss consiste em aplicar operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada (\mathbf{A}\,|\,\mathbf{b}) para obter uma matriz triangular superior. As operações elementares possíveis são:
trocar duas linhas (isso muda o sinal do determinante);
multiplicar uma linha por um escalar não-nulo (isso multiplica o determinante por esse escalar) — vamos evitar usar esse tipo quando possível;
somar a uma linha um múltiplo de outra (isso não altera o determinante).
Após obter a matriz triangular superior, faz-se substituição regressiva (back-substitution): resolver a última equação para a última incógnita, substituir acima, e assim por diante.
Vou aplicar operações do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” (que não alteram o determinante) e uma troca de linhas (se necessária), registrando cada operação e seu efeito quando necessário.
Novamente, esta operação (somar múltiplo de uma linha) não altera o determinante.]
Passo 5
Agora queremos ter um pivô não-nulo na segunda linha, segunda coluna. Observamos que a entrada (2,2) atualmente é 0 e a entrada (3,2) é 3{,}5. Então fazemos uma troca de linhas para obter um pivô não nulo:
Operação 3: trocar R_{2} com R_{3}: R_{2}\leftrightarrow R_{3}.
A matriz aumentada passa a ser triangular superior:
Importante: uma troca de linhas inverte o sinal do determinante (ou seja, se fizermos uma troca, \det da nova matriz é -\det da anterior). Até aqui realizámos exatamente uma troca de linhas, então houve uma inversão de sinal no determinante relativo à matriz original.
Observação: agora já temos uma matriz triangular superior (todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero), portanto podemos fazer substituição regressiva.]
Passo 6
Explicação rápida da substituição regressiva (didática): numa matriz triangular superior, as equações resultantes têm a forma
Cálculo do determinante usando a matriz triangular obtida (didática):
Para uma matriz triangular superior \mathbf{U}, \det(\mathbf{U}) é o produto dos elementos da diagonal principal.
No processo de eliminação, usamos apenas operações que não alteram o determinante (somar múltiplos de uma linha a outra) e uma troca de linhas. Uma troca de linhas muda o sinal do determinante. Como fizemos exatamente uma troca de linhas, é preciso levar esse fato em conta.