Usando o algoritmo de Eudoxo, calcule as raízes quadradas abaixo, com uma boa aproximação, trabalhando com 8 dígitos depois do ponto decimal.
x_{n}= \begin{cases}(1+p) / 2 & \text { se } n=0 \\\ \left(\frac{p}{x_{n-1}}+x_{n-1}\right) / 2 & \text { se } n \geq 1\end{cases}
\sqrt{3}
Passo 1
O problema pede: usar o algoritmo de Eudoxo (a iteração dada) para calcular uma boa aproximação de [\sqrt{3}), trabalhando com 8 dígitos depois do ponto decimal.
Aqui p=3\].
- Objetivo: obter \(\sqrt{3} com precisão suficiente para arredondar corretamente com 8 casas decimais.]
Passo 2
O que é esse algoritmo (explicação didática e intuída): a iteração
x_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(x_n+\frac{p}{x_n}\Big)
é o método clássico de Eudoxo/Babilônico (equivalente ao passo de Newton para a função f(x)=x^2-p). A ideia é: se x_n é uma aproximação de \sqrt{p}, então \dfrac{p}{x_n} é outra aproximação (pelo inverso), e a média aritmética das duas costuma ser uma aproximação muito melhor. Em linguagem simples: uma aproximação é corrigida pela média entre ela e a “complementar” p/x_n.
Breve justificativa (sem jargões): aplicando Newton em f(x)=x^2-p vem
Assim o erro absoluto é menor que 2{,}5\times10^{-9}, que é menor que 5\times10^{-9} (metade de 10^{-8}). Isso garante que, ao arredondar para 8 casas decimais, x_3 já fornece o arredondamento correto de \sqrt{3}.