Usando o algoritmo de Eudoxo, calcule as raízes quadradas abaixo, com uma boa aproximação, trabalhando com 8 dígitos depois do ponto decimal.
x_{n}= \begin{cases}(1+p) / 2 & \text { se } n=0 \\\ \left(\frac{p}{x_{n-1}}+x_{n-1}\right) / 2 & \text { se } n \geq 1\end{cases}
\sqrt{3}

Passo 1

O problema pede: usar o algoritmo de Eudoxo (a iteração dada) para calcular uma boa aproximação de [\sqrt{3}), trabalhando com 8 dígitos depois do ponto decimal.
Informações fornecidas:
  • A iteração é
x_{n}= \begin{cases}(1+p) / 2 & \text{se } n=0,\\[4pt] \left(\dfrac{p}{x_{n-1}}+x_{n-1}\right) / 2 & \text{se } n\ge1,\end{cases}
  • Aqui p=3\]. - Objetivo: obter \(\sqrt{3} com precisão suficiente para arredondar corretamente com 8 casas decimais.]

Passo 2

O que é esse algoritmo (explicação didática e intuída): a iteração
x_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(x_n+\frac{p}{x_n}\Big)
é o método clássico de Eudoxo/Babilônico (equivalente ao passo de Newton para a função f(x)=x^2-p). A ideia é: se x_n é uma aproximação de \sqrt{p}, então \dfrac{p}{x_n} é outra aproximação (pelo inverso), e a média aritmética das duas costuma ser uma aproximação muito melhor. Em linguagem simples: uma aproximação é corrigida pela média entre ela e a “complementar” p/x_n.
Breve justificativa (sem jargões): aplicando Newton em f(x)=x^2-p vem
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-p}{2x_n}=\frac{1}{2}\Big(x_n+\frac{p}{x_n}\Big).
Essa iteração converge rápido (quadraticamente): o erro aproxima-se do quadrado do erro anterior, quebrando bem a distância para a raiz.

Passo 3

Escolha do início e cálculo de x_0:
  • Como pedido na definição, x_0=(1+p)/2. Com p=3,
x_0=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2.

Passo 4

Cálculo de x_1 passo a passo:
x_1=\frac{1}{2}\Big(x_0+\frac{3}{x_0}\Big)=\frac{1}{2}\Big(2+\frac{3}{2}\Big)=\frac{1}{2}\Big(\frac{4}{2}+\frac{3}{2}\Big)=\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{2}=\frac{7}{4}=1{,}75.

Passo 5

Cálculo de x_2 de forma exata (frações ajudam a evitar erro de arredondamento manual):
x_1=\frac{7}{4}\quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{1}{2}\Big(\frac{7}{4}+\frac{3}{7/4}\Big)=\frac{1}{2}\Big(\frac{7}{4}+\frac{12}{7}\Big).
Colocando sobre um mesmo denominador:
\frac{7}{4}+\frac{12}{7}=\frac{49}{28}+\frac{48}{28}=\frac{97}{28},
portanto
x_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{97}{28}=\frac{97}{56}.
Em decimal,
x_2=\frac{97}{56}\approx 1{,}732142857142857.

Passo 6

Cálculo de x_3 exatamente (isso vai nos dar a precisão necessária):
x_2=\frac{97}{56}\quad\Rightarrow\quad x_3=\frac{1}{2}\Big(\frac{97}{56}+\frac{3}{97/56}\Big)=\frac{1}{2}\Big(\frac{97}{56}+\frac{168}{97}\Big).
Somando com denominador comum 56\cdot97=5432:
\frac{97}{56}=\frac{97\cdot97}{5432}=\frac{9409}{5432},\qquad \frac{168}{97}=\frac{168\cdot56}{5432}=\frac{9408}{5432},
então
\frac{97}{56}+\frac{168}{97}=\frac{9409+9408}{5432}=\frac{18817}{5432},
e
x_3=\frac{1}{2}\cdot\frac{18817}{5432}=\frac{18817}{10864}.
Em decimal,
x_3=\frac{18817}{10864}\approx 1{,}732050810014727\ldots

Passo 7

Verificação da precisão (mostrar que x_3 já é suficiente para 8 casas decimais):
Calculemos exatamente x_3^2-3. Usando os quadrados:
18817^2=354\,079\,489,\qquad 10864^2=118\,026\,496.
Então
x_3^2=\frac{18817^2}{10864^2}=\frac{354\,079\,489}{118\,026\,496}
e
x_3^2-3=\frac{354\,079\,489-3\cdot118\,026\,496}{118\,026\,496}=\frac{354\,079\,489-354\,079\,488}{118\,026\,496}=\frac{1}{118\,026\,496}.
Portanto temos a identidade exata
x_3^2=3+\frac{1}{118\,026\,496}.
Agora use a relação exata entre diferença de raízes:
x_3-\sqrt{3}=\frac{x_3^2-3}{x_3+\sqrt{3}}=\frac{1}{118\,026\,496\,(x_3+\sqrt{3})}.
Como x_3+\sqrt{3}>2\sqrt{3}>3{,}46, obtemos um limite numérico para o erro:
0<x_3-\sqrt{3}<\frac{1}{118\,026\,496\cdot 3{,}46}\approx 2{,}45\times10^{-9}.
Assim o erro absoluto é menor que 2{,}5\times10^{-9}, que é menor que 5\times10^{-9} (metade de 10^{-8}). Isso garante que, ao arredondar para 8 casas decimais, x_3 já fornece o arredondamento correto de \sqrt{3}.

Passo 8

Arredondamento para 8 casas decimais:
A aproximação decimal de x_3 que obtivemos é
x_3\approx 1{,}732050810014727\ldots
Para 8 casas decimais temos os dígitos:
1{,}73205081\underbrace{0}_{9^\text{o}\text{ dígito}} \ldotsí
ou seja, ao arredondar corretamente com base no 9º dígito, obtemos
\sqrt{3}\approx 1{,}73205081.

Resposta

1{,}73205081

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