Usando o algoritmo de Eudoxo, calcule as raízes quadradas abaixo, com uma boa aproximação, trabalhando com 8 dígitos depois do ponto decimal.
x_{n}= \begin{cases}(1+p) / 2 & \text { se } n=0 \\\ \left(\frac{p}{x_{n-1}}+x_{n-1}\right) / 2 & \text { se } n \geq 1\end{cases}
\sqrt{5}

Passo 1

O enunciado pede que se aplique o algoritmo de Eudoxo (iteração abaixo) para aproximar \sqrt{5} trabalhando com 8 dígitos depois do ponto decimal. As informações fornecidas são:
  • A constante cujo radical é procurado é p=5.
  • A sequência é dada por
x_{0}=\frac{1+p}{2}, \qquad x_{n}=\frac{\dfrac{p}{x_{n-1}}+x_{n-1}}{2}\\ \text{ para } n\ge 1.
O objetivo final é obter uma boa aproximação numérica de \sqrt{5} com 8 casas decimais.

Passo 2

Breve explicação do método (o que está sendo usado e por quê).
  • A ideia é construir uma sequência positiva x_n que converge para \sqrt{p}. Se x for a raiz positiva procurada então x satisfaz x=\dfrac{p/x + x}{2}. Assim a iteração
x_{n}=\frac{\dfrac{p}{x_{n-1}}+x_{n-1}}{2}
é uma forma natural de “corrigir” uma aproximação x_{n-1} para ficar mais próxima de \sqrt{p}.
  • Este método é equivalente ao método de Newton aplicado à equação g(x)=x^{2}-p=0 e convergência é rápida (convergência quadrática): a cada iteração o número de dígitos corretos costuma dobrar, quando já estamos suficientemente perto da solução.
  • Para a prova: basta aplicar iterativamente a fórmula e parar quando as aproximações, ao serem arredondadas com 8 casas decimais, não mudarem mais.

Passo 3

Regra prática de parada e de arredondamento que vou usar aqui:
  • Vou manter os cálculos exatos sempre que possível (representações racionais) e apresentar cada x_n em forma decimal arredondada a 8 casas decimais.
  • Vou parar quando o valor arredondado a 8 casas decimais não mudar entre duas iterações sucessivas (ou seja, quando já temos estabilidade na 8ª casa decimal).

Passo 4

Calcule x_{0} com p=5:
x_{0}=\frac{1+p}{2}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3.
Arredondando a 8 casas decimais:
x_{0}=3{,}00000000.

Passo 5

Calcule x_{1}:
x_{1}=\frac{\dfrac{5}{x_{0}}+x_{0}}{2}=\frac{\dfrac{5}{3}+3}{2}=\frac{\dfrac{5+9}{3}}{2}=\frac{\dfrac{14}{3}}{2}=\frac{7}{3}.
Como decimal,
x_{1}=\frac{7}{3}=2{,}333333333\ldots
Arredondando a 8 casas decimais:
x_{1}=2{,}33333333.

Passo 6

Calcule x_{2} partindo de x_{1}=\dfrac{7}{3}:
x_{2}=\frac{\dfrac{5}{7/3}+7/3}{2}=\frac{\dfrac{15}{7}+\dfrac{7}{3}}{2}.
Colocando em denominador comum:
\dfrac{15}{7}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{15\cdot3 + 7\cdot7}{21}=\dfrac{45+49}{21}=\dfrac{94}{21}.
Dividindo por 2:
x_{2}=\dfrac{94}{21}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{47}{21}.
Como decimal,
x_{2}=\dfrac{47}{21}=2{,}238095238095\ldots
Arredondando a 8 casas decimais:
x_{2}=2{,}23809524.

Passo 7

Calcule x_{3} partindo de x_{2}=\dfrac{47}{21}:
x_{3}=\frac{\dfrac{5}{47/21}+47/21}{2}=\frac{\dfrac{105}{47}+\dfrac{47}{21}}{2}.
Colocando em denominador comum (produto 47\cdot21=987):
\dfrac{105}{47}=\dfrac{105\cdot21}{987}=\dfrac{2205}{987},\qquad \dfrac{47}{21}=\dfrac{47\cdot47}{987}=\dfrac{2209}{987}.
Somando e dividindo por 2:
x_{3}=\frac{2205+2209}{2\cdot 987}=\frac{4414}{1974}=\frac{2207}{987}.
Como decimal,
x_{3}=\frac{2207}{987}\approx 2{,}23606797749979\ldots
Arredondando a 8 casas decimais:
x_{3}=2{,}23606798.

Passo 8

Calcule x_{4} para verificar estabilidade:
x_{4}=\frac{\dfrac{5}{2207/987}+2207/987}{2}=\frac{\dfrac{5\cdot987}{2207}+\dfrac{2207}{987}}{2}.
Fazendo as contas (mantendo exatidão racional),
x_{4}=\frac{5\cdot 987^{2}+2207^{2}}{2\cdot 2207\cdot 987} =\frac{4\,870\,845 + 4\,870\,849}{4\,356\,618} =\frac{9\,741\,694}{4\,356\,618} =\frac{4\,870\,847}{2\,178\,309}.
Como decimal essa fração vale
x_{4}\approx 2{,}23606797749979\ldots
Arredondando a 8 casas decimais:
x_{4}=2{,}23606798.
Observa-se que o valor arredondado a 8 casas decimais não mudou entre x_{3} e x_{4}.

Passo 9

Verificação de precisão e parada:
  • x_{3} e x_{4} arredondados a 8 casas são iguais: 2{,}23606798. Segundo a regra de parada adotada, isso indica que já alcançamos estabilidade na 8ª casa decimal.
  • Para confirmar a qualidade: o erro na equação é pequeno, por exemplo
x_{3}^{2}-5=\frac{2207^{2}}{987^{2}}-5=\frac{4}{974\,169}\approx 4{,}106\times10^{-6},
o que mostra que x_{3} (e x_{4}) estão muito próximos do verdadeiro \sqrt{5}; com 8 casas decimais o valor está estável.

Resposta

2{,}23606798

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