Usando o algoritmo de Eudoxo, calcule as raízes quadradas abaixo, com uma boa aproximação, trabalhando com 8 dígitos depois do ponto decimal.
Passo 1
O enunciado pede que se aplique o algoritmo de Eudoxo (iteração abaixo) para aproximar
trabalhando com 8 dígitos depois do ponto decimal. As informações fornecidas são:
- A constante cujo radical é procurado é
. - A sequência é dada por
O objetivo final é obter uma boa aproximação numérica de
com 8 casas decimais.
Passo 2
Breve explicação do método (o que está sendo usado e por quê).
- A ideia é construir uma sequência positiva
que converge para . Se for a raiz positiva procurada então satisfaz . Assim a iteração
é uma forma natural de “corrigir” uma aproximação
para ficar mais próxima de
.
- Este método é equivalente ao método de Newton aplicado à equação
e convergência é rápida (convergência quadrática): a cada iteração o número de dígitos corretos costuma dobrar, quando já estamos suficientemente perto da solução. - Para a prova: basta aplicar iterativamente a fórmula e parar quando as aproximações, ao serem arredondadas com 8 casas decimais, não mudarem mais.
Passo 3
Regra prática de parada e de arredondamento que vou usar aqui:
- Vou manter os cálculos exatos sempre que possível (representações racionais) e apresentar cada
em forma decimal arredondada a 8 casas decimais. - Vou parar quando o valor arredondado a 8 casas decimais não mudar entre duas iterações sucessivas (ou seja, quando já temos estabilidade na 8ª casa decimal).
Passo 4
Calcule
com
:
Arredondando a 8 casas decimais:
Passo 5
Calcule
:
Como decimal,
Arredondando a 8 casas decimais:
Passo 6
Calcule
partindo de
:
Colocando em denominador comum:
Dividindo por
:
Como decimal,
Arredondando a 8 casas decimais:
Passo 7
Calcule
partindo de
:
Colocando em denominador comum (produto
):
Somando e dividindo por
:
Como decimal,
Arredondando a 8 casas decimais:
Passo 8
Calcule
para verificar estabilidade:
Fazendo as contas (mantendo exatidão racional),
Como decimal essa fração vale
Arredondando a 8 casas decimais:
Observa-se que o valor arredondado a 8 casas decimais não mudou entre
e
.
Passo 9
Verificação de precisão e parada:
-
e arredondados a 8 casas são iguais: . Segundo a regra de parada adotada, isso indica que já alcançamos estabilidade na 8ª casa decimal. - Para confirmar a qualidade: o erro na equação é pequeno, por exemplo
o que mostra que
(e
) estão muito próximos do verdadeiro
; com 8 casas decimais o valor está estável.