Seja o sistema linear:
\left\{\begin{aligned} x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4} & =18 \\\ x_{1}+6 x_{2}-3 x_{3}+x_{4} & =-31 \\\\ 9 x_{1}-3 x_{2}+4 x_{3}+x_{4} & =-35 \\\\ 2 x_{1}-3 x_{2}-4 x_{3}+10 x_{4} & =-15 \end{aligned}\right.
a) É possível dizer se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas?
◯ Sim
◯ Não
Obs.: Se o sistema não for convergente, preencha 0 para x_{1}, x_{2}, x_{3} e x_{4} no item b).
b) Resolver o sistema utilizando o Método de Jacobi com \mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\ 0\end{array}\right]^{T} e \boldsymbol{\epsilon}=0.5 \cdot 10^{-3} (três casas decimais corretas).
  • x_{1}=
  • x_{2}=
  • x_{3}=
  • x_{4}=

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{aligned} x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4} & =18 \\\ x_{1}+6 x_{2}-3 x_{3}+x_{4} & =-31 \\\\ 9 x_{1}-3 x_{2}+4 x_{3}+x_{4} & =-35 \\\\ 2 x_{1}-3 x_{2}-4 x_{3}+10 x_{4} & =-15 \end{aligned}\right.
As perguntas são:
  • (a) Usando o critério das linhas (critério da dominância diagonal por linhas), é possível dizer se o Método de Jacobi é convergente para este sistema? Responder “Sim” ou “Não”.
  • (b) Resolver o sistema pelo Método de Jacobi com \mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} e \boldsymbol{\epsilon}=0{,}5\cdot10^{-3} (objetivo: obter três casas decimais corretas). Obs.: o enunciado diz que, se o sistema não for convergente, preencher com zero os x_i.
Dados relevantes que vamos usar: os coeficientes da matriz do sistema e o vetor do lado direito, o chute inicial \mathbf{x}^{(0)} e a tolerância \epsilon.

Passo 2

Explicação didática do critério das linhas e do que ele garante.
O critério das linhas (dominância diagonal por linhas) diz o seguinte.
Se a matriz A=[a_{ij}] do sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} satisfaz, para toda linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,
então a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas e o Método de Jacobi converge (para qualquer chute inicial). Aqui:
  • a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na equação i,
  • \sum_{j\neq i}|a_{ij}| é a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes da mesma linha.
Importante: esse critério é suficiente, não necessário. Ou seja, se a desigualdade for verdadeira para todas as linhas, a convergência do Jacobi está garantida. Se a desigualdade falhar para alguma linha, o critério NÃO garante convergência — pode acontecer de o método convergir mesmo assim, ou divergir; o critério simplesmente não se aplica como prova.

Passo 3

Aplicando o critério linha a linha para o sistema dado (vou extrair os coeficientes das equações do enunciado).
Linha 1: coeficientes (a_{11},a_{12},a_{13},a_{14})=(1,-2,1,2).
Calcular |a_{11}| e a soma dos demais em módulo:
|a_{11}| = |1| = 1, \qquad \sum_{j\neq 1}|a_{1j}| = |{-2}|+|1|+|2| = 2+1+2 = 5.
Comparação: 1 \not> 5. Logo a linha 1 NÃO satisfaz dominância estrita.
Linha 2: coeficientes (1,6,-3,1).
|a_{22}| = |6| = 6, \qquad \sum_{j\neq 2}|a_{2j}| = |1|+|{-3}|+|1| = 1+3+1 = 5.
Comparação: 6 > 5. A linha 2 satisfaz dominância estrita.
Linha 3: coeficientes (9,-3,4,1).
|a_{33}| = |4| = 4, \qquad \sum_{j\neq 3}|a_{3j}| = |9|+|{-3}|+|1| = 9+3+1 = 13.
Comparação: 4 \not> 13. A linha 3 NÃO satisfaz dominância estrita.
Linha 4: coeficientes (2,-3,-4,10).
|a_{44}| = |10| = 10, \qquad \sum_{j\neq 4}|a_{4j}| = |2|+|{-3}|+|{-4}| = 2+3+4 = 9.
Comparação: 10 > 9. A linha 4 satisfaz dominância estrita.
Como as linhas 1 e 3 NÃO satisfazem a desigualdade, a matriz NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Portanto o critério das linhas NÃO confirma a convergência do Método de Jacobi para este sistema.

Passo 4

Conclusão sobre a pergunta (a) e comentário adicional (didático) sobre interpretação.
Resposta direta ao item (a) — usando estritamente o critério das linhas — é:
  • Não: o critério das linhas não é satisfeito em todas as linhas, logo não se pode afirmar, por esse critério, que o Método de Jacobi converge.
Observação importante (didática): isso não prova formalmente que o Jacobi diverge; apenas mostra que esse critério suficiente não assegura convergência aqui. Para decidir de forma absoluta seria preciso outro critério (por exemplo estudar o raio espectral da matriz iterativa de Jacobi) ou testar numericamente as iterações. A instrução do enunciado diz que, se o sistema não for convergente, preencher com zeros no item (b). Como o critério das linhas, que foi o critério pedido, não garante convergência, a resposta ao item (a) é “Não” (não podemos garantir convergência usando esse critério).

Passo 5

Explicação didática do Método de Jacobi e demonstração das primeiras iterações (para aprender a aplicar), seguido da decisão final para (b).
Como ensinar e para usar na prova: o Método de Jacobi isola cada incógnita em sua própria equação, usando apenas os valores da iteração anterior. Para o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}, escrevendo a i-ésima equação na forma a_{ii}x_i = b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j, a iteração de Jacobi é
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij} x_j^{(k)}\right),
onde x_j^{(k)} são os valores da iteração anterior. Aqui:
  • x_i^{(k)} é a aproximação de x_i na k-ésima iteração,
  • a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i (deve ser não nulo).
Para o sistema dado isolando cada x_i, obtemos as fórmulas iterativas concretas (usando algebricamente cada equação):
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= 18 + 2x_2^{(k)} - x_3^{(k)} - 2x_4^{(k)},\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \dfrac{-31 - x_1^{(k)} + 3x_3^{(k)} - x_4^{(k)}}{6},\\[6pt] x_3^{(k+1)} &= \dfrac{-35 - 9x_1^{(k)} + 3x_2^{(k)} - x_4^{(k)}}{4},\\[6pt] x_4^{(k+1)} &= \dfrac{-15 - 2x_1^{(k)} + 3x_2^{(k)} + 4x_3^{(k)}}{10}. \end{aligned}
Critério de parada usual (o enunciado deu \epsilon=0{,}5\cdot10^{-3}): uma escolha prática é parar quando a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas ficar abaixo da tolerância, isto é,
\max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}| < \epsilon.
Esse critério garante que todas as componentes mudaram menos que \epsilon entre duas iterações sucessivas; com \epsilon=0{,}5\cdot10^{-3} isso corresponde à garantia de três casas decimais corretas nas componentes (critério usual relacionado ao erro absoluto).
Demonstração numérica das primeiras iterações a partir de \mathbf{x}^{(0)}=[0,0,0,0]^T (para ver comportamento prático):
Iteração 1 (usar \mathbf{x}^{(0)}):
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= 18 + 2\cdot 0 - 0 - 2\cdot 0 = 18,\\[4pt] x_2^{(1)} &= \dfrac{-31 - 0 + 3\cdot 0 - 0}{6} = -\dfrac{31}{6} \approx -5{,}166667,\\[4pt] x_3^{(1)} &= \dfrac{-35 - 9\cdot 0 + 3\cdot 0 - 0}{4} = -\dfrac{35}{4} = -8{,}75,\\[4pt] x_4^{(1)} &= \dfrac{-15 - 2\cdot 0 + 3\cdot 0 + 4\cdot 0}{10} = -\dfrac{15}{10} = -1{,}5. \end{aligned}
Iteração 2 (usar \mathbf{x}^{(1)}):
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= 18 + 2(-5{,}166667) - (-8{,}75) - 2(-1{,}5) \approx 19{,}416667,\\[4pt] x_2^{(2)} &= \dfrac{-31 - 18 + 3(-8{,}75) - (-1{,}5)}{6} \approx -12{,}291667,\\[4pt] x_3^{(2)} &= \dfrac{-35 - 9(18) + 3(-5{,}166667) - (-1{,}5)}{4} \approx -52{,}75,\\[4pt] x_4^{(2)} &= \dfrac{-15 - 2(18) + 3(-5{,}166667) + 4(-8{,}75)}{10} \approx -10{,}15. \end{aligned}
Diferenças |x_i^{(2)}-x_i^{(1)}| mostram valores grandes (por exemplo |x_3^{(2)}-x_3^{(1)}|=44), o que indica que as iterações estão se afastando, não convergindo rapidamente — isto é, um comportamento numérico que sugere divergência do método nas condições dadas. Essa observação numérica complementa a conclusão de que o critério das linhas não garante convergência; aqui, na prática, as iterações parecem divergir.
Dado que o enunciado instrui: “Obs.: Se o sistema não for convergente, preencha 0 para x_1,x_2,x_3,x_4 no item b)”, e que usando o critério das linhas (pedido na parte a) ) não podemos garantir convergência (resposta a = Não) e o teste numérico das primeiras iterações mostra crescimento das iteradas, seguimos a instrução e preenchemos com zeros no item (b).]

Resposta

a) Não
x_{1}=0
x_{2}=0
x_{3}=0
x_{4}=0

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