a) É possível dizer se o Método de Jacobi é convergente para esse sistema, usando o critério das linhas?
◯ Sim
◯ Não
Obs.: Se o sistema não for convergente, preencha 0 para x_{1}, x_{2}, x_{3} e x_{4} no item b).
b) Resolver o sistema utilizando o Método de Jacobi com \mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\ 0\end{array}\right]^{T} e \boldsymbol{\epsilon}=0.5 \cdot 10^{-3} (três casas decimais corretas).
x_{1}= □
x_{2}= □
x_{3}= □
x_{4}= □
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
(a) Usando o critério das linhas (critério da dominância diagonal por linhas), é possível dizer se o Método de Jacobi é convergente para este sistema? Responder “Sim” ou “Não”.
(b) Resolver o sistema pelo Método de Jacobi com \mathbf{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} e \boldsymbol{\epsilon}=0{,}5\cdot10^{-3} (objetivo: obter três casas decimais corretas). Obs.: o enunciado diz que, se o sistema não for convergente, preencher com zero os x_i.
Dados relevantes que vamos usar: os coeficientes da matriz do sistema e o vetor do lado direito, o chute inicial \mathbf{x}^{(0)} e a tolerância \epsilon.
Passo 2
Explicação didática do critério das linhas e do que ele garante.
O critério das linhas (dominância diagonal por linhas) diz o seguinte.
Se a matriz A=[a_{ij}] do sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} satisfaz, para toda linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,
então a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas e o Método de Jacobi converge (para qualquer chute inicial). Aqui:
a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na equação i,
\sum_{j\neq i}|a_{ij}| é a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes da mesma linha.
Importante: esse critério é suficiente, não necessário. Ou seja, se a desigualdade for verdadeira para todas as linhas, a convergência do Jacobi está garantida. Se a desigualdade falhar para alguma linha, o critério NÃO garante convergência — pode acontecer de o método convergir mesmo assim, ou divergir; o critério simplesmente não se aplica como prova.
Passo 3
Aplicando o critério linha a linha para o sistema dado (vou extrair os coeficientes das equações do enunciado).
Linha 1: coeficientes (a_{11},a_{12},a_{13},a_{14})=(1,-2,1,2).
Calcular |a_{11}| e a soma dos demais em módulo:
Comparação: 10 > 9. A linha 4 satisfaz dominância estrita.
Como as linhas 1 e 3 NÃO satisfazem a desigualdade, a matriz NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Portanto o critério das linhas NÃO confirma a convergência do Método de Jacobi para este sistema.
Passo 4
Conclusão sobre a pergunta (a) e comentário adicional (didático) sobre interpretação.
Resposta direta ao item (a) — usando estritamente o critério das linhas — é:
Não: o critério das linhas não é satisfeito em todas as linhas, logo não se pode afirmar, por esse critério, que o Método de Jacobi converge.
Observação importante (didática): isso não prova formalmente que o Jacobi diverge; apenas mostra que esse critério suficiente não assegura convergência aqui. Para decidir de forma absoluta seria preciso outro critério (por exemplo estudar o raio espectral da matriz iterativa de Jacobi) ou testar numericamente as iterações. A instrução do enunciado diz que, se o sistema não for convergente, preencher com zeros no item (b). Como o critério das linhas, que foi o critério pedido, não garante convergência, a resposta ao item (a) é “Não” (não podemos garantir convergência usando esse critério).
Passo 5
Explicação didática do Método de Jacobi e demonstração das primeiras iterações (para aprender a aplicar), seguido da decisão final para (b).
Como ensinar e para usar na prova: o Método de Jacobi isola cada incógnita em sua própria equação, usando apenas os valores da iteração anterior. Para o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}, escrevendo a i-ésima equação na forma a_{ii}x_i = b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j, a iteração de Jacobi é
Critério de parada usual (o enunciado deu \epsilon=0{,}5\cdot10^{-3}): uma escolha prática é parar quando a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas ficar abaixo da tolerância, isto é,
\max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}| < \epsilon.
Esse critério garante que todas as componentes mudaram menos que \epsilon entre duas iterações sucessivas; com \epsilon=0{,}5\cdot10^{-3} isso corresponde à garantia de três casas decimais corretas nas componentes (critério usual relacionado ao erro absoluto).
Demonstração numérica das primeiras iterações a partir de \mathbf{x}^{(0)}=[0,0,0,0]^T (para ver comportamento prático):
Diferenças |x_i^{(2)}-x_i^{(1)}| mostram valores grandes (por exemplo |x_3^{(2)}-x_3^{(1)}|=44), o que indica que as iterações estão se afastando, não convergindo rapidamente — isto é, um comportamento numérico que sugere divergência do método nas condições dadas. Essa observação numérica complementa a conclusão de que o critério das linhas não garante convergência; aqui, na prática, as iterações parecem divergir.
Dado que o enunciado instrui: “Obs.: Se o sistema não for convergente, preencha 0 para x_1,x_2,x_3,x_4 no item b)”, e que usando o critério das linhas (pedido na parte a) ) não podemos garantir convergência (resposta a = Não) e o teste numérico das primeiras iterações mostra crescimento das iteradas, seguimos a instrução e preenchemos com zeros no item (b).]