Um engenheiro supervisiona a produção de quatro tipos de computadores. Existem quatro espécies de recursos necessários à produção: mão-de-obra, metais, plásticos e componentes eletrônicos. As quantidades destes recursos, necessários para produzir cada computador são:
Computador Mão de obra (h/comp.) Metais (kg/comp.) Plásticos (kg/comp) Componentes (unid./comp.)
1 3 20 10 10
2 4 25 15 8
3 7 40 20 10
4 20 50 22 15
Considere um consumo diário de 504 h de mão-de-obra, 1970 kg de metais, 970 de plásticos e 601 componentes.
(a) Use um método direto com pivoteamento parcial para calcular o número de computadores(número inteiro) de cada tipo produzidos por dia.
(b) Use o método iterativo de Gauss-Seidel, tomando como aproximação inicial |l|l|l|l|l| hline Computador & Mão de obra (h/comp) & Metais (kg/comp) & Plásticos (kg/comp) & Componentes (unid/comp) hline 1 & 3 & 20 & 10 & 10 hline 2 & 4 & 25 & 15 & 8 hline 3 & 7 & 40 & 20 & 10 hline 4 & 20 & 50 & 22 & 15 hline . Apresente apenas os cálculos relativos as duas primeiras iterações, indicando o erro relativo de cada iteração.
© Comente os resultados obtidos nos itens (a) e (b), analisando os critérios de convergência.

Passo 1

Beleza, olha o que tá rolando: temos quatro tipos de computador (variáveis 3x1+4x2+7x3+20x4=504(mão-de-obra) 20x1+25x2+40x3+50x4=1970(metais) 10x1+15x2+20x3+22x4=970(plásticos) 10x1+8x2+10x3+15x4=601(componentes) ) e quatro recursos diários limitados (mão-de-obra, metais, plásticos e componentes). Cada máquina consome certa quantidade de cada recurso, e a gente sabe quanto tem disponível por dia:
ãá
Conteúdo: resolver sistema linear 4×4 por (a) eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e (b) Gauss-Seidel. Depois © a gente comenta convergência. Vamos precisar saber o que é pivoteamento parcial (trocar linhas pra usar maior pivô e evitar divisão por número pequeno) e critério de convergência (dominância diagonal).

Passo 2

(a) Método direto com pivoteamento parcial
  1. Monta matriz aumentada x4&=15, x3&=18, x2&=12, x1&=10 .
  2. Em cada coluna, a partir da diagonal, escolhe o maior valor absoluto de pivô e troca linha pra cima.
  3. Elimina abaixo do pivô com operações do tipo ô.
  4. Faz isso até triangularizar, depois retro-substituição.
No fim dá (apenas mostrando resultados intermediários principais):

Passo 3

(b) Gauss-Seidel
A ideia é isolar cada variável na sua equação, por exemplo:
x1=504-4x2-7x3-20x43, x2=1970-20x1-40x3-50x425,;dots
E usar a solução mais recente imediatamente. Começando de
x1^(1)&=504-4cdot10-7cdot12-20cdot103=60, x2^(1)&=1970-20cdot60-40cdot12-50cdot1025=-8.4, x3^(1)&=970-10cdot60-15cdot(-8.4)-22cdot1020=13.8, x4^(1)&=601-10cdot60-8cdot(-8.4)-10cdot13.815approx-4.6533 .
Iteração 1:
ei^(1)=|xi^(1)-xi^(0)||xi^(1)|: e1approx0.85,;e2approx2.19,;e3approx0.13,;e4approx3.15
Erro relativo (cada componente)
x1^(2)&approx178.0222, x2^(2)&approx-76.3911, x3^(2)&approx21.9008, x4^(2)&approx-52.4734,
Iteração 2:
e1^(2)approx0.663,;e2^(2)approx0.89,; e3^(2)approx0.37,;e4^(2)approx0.91
com erros

Passo 4

© Comentário sobre convergência
Para Gauss-Seidel convergir rápido, normalmente precisa que a matriz seja estritamente diagonalmente dominante (em cada linha, módulo do termo diagonal > soma dos outros módulos). Aqui isso não acontece, logo os valores “pulam” muito e não estabilizam – dá erro gigante nas iterações. Já o método direto (eliminações) sempre chega na solução exata em número finito de passos se não der divisão por zero (por isso pivoteamos).

Resposta

(a)
(b) Iteração 1: , erro relativo por componente
Iteração 2: , erros
© O Gauss-Seidel não converge (matriz não domina diagonalmente), mas a eliminação direta com pivoteamento parcial dá a solução exata.

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