Um engenheiro supervisiona a produção de quatro tipos de computadores. Existem quatro espécies de recursos necessários à produção: mão-de-obra, metais, plásticos e componentes eletrônicos. As quantidades destes recursos, necessários para produzir cada computador são:
Computador
Mão de obra (h/comp.)
Metais (kg/comp.)
Plásticos (kg/comp)
Componentes (unid./comp.)
1
3
20
10
10
2
4
25
15
8
3
7
40
20
10
4
20
50
22
15
Considere um consumo diário de 504 h de mão-de-obra, 1970 kg de metais, 970 de plásticos e 601 componentes.
(a) Use um método direto com pivoteamento parcial para calcular o número de computadores(número inteiro) de cada tipo produzidos por dia.
(b) Use o método iterativo de Gauss-Seidel, tomando como aproximação inicial
. Apresente apenas os cálculos relativos as duas primeiras iterações, indicando o erro relativo de cada iteração.
© Comente os resultados obtidos nos itens (a) e (b), analisando os critérios de convergência.
Computador | Mão de obra (h/comp.) | Metais (kg/comp.) | Plásticos (kg/comp) | Componentes (unid./comp.) |
1 | 3 | 20 | 10 | 10 |
2 | 4 | 25 | 15 | 8 |
3 | 7 | 40 | 20 | 10 |
4 | 20 | 50 | 22 | 15 |
(a) Use um método direto com pivoteamento parcial para calcular o número de computadores(número inteiro) de cada tipo produzidos por dia.
(b) Use o método iterativo de Gauss-Seidel, tomando como aproximação inicial
© Comente os resultados obtidos nos itens (a) e (b), analisando os critérios de convergência.
Passo 1
Beleza, olha o que tá rolando: temos quatro tipos de computador (variáveis
) e quatro recursos diários limitados (mão-de-obra, metais, plásticos e componentes). Cada máquina consome certa quantidade de cada recurso, e a gente sabe quanto tem disponível por dia:
Conteúdo: resolver sistema linear 4×4 por (a) eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e (b) Gauss-Seidel. Depois © a gente comenta convergência. Vamos precisar saber o que é pivoteamento parcial (trocar linhas pra usar maior pivô e evitar divisão por número pequeno) e critério de convergência (dominância diagonal).
Passo 2
(a) Método direto com pivoteamento parcial
- Monta matriz aumentada
.x4&=15, x3&=18, x2&=12, x1&=10 - Em cada coluna, a partir da diagonal, escolhe o maior valor absoluto de pivô e troca linha pra cima.
- Elimina abaixo do pivô com operações do tipo
.ô - Faz isso até triangularizar, depois retro-substituição.
No fim dá (apenas mostrando resultados intermediários principais):
Passo 3
(b) Gauss-Seidel
A ideia é isolar cada variável na sua equação, por exemplo:
A ideia é isolar cada variável na sua equação, por exemplo:
E usar a solução mais recente imediatamente. Começando de
x1^(1)&=504-4cdot10-7cdot12-20cdot103=60, x2^(1)&=1970-20cdot60-40cdot12-50cdot1025=-8.4, x3^(1)&=970-10cdot60-15cdot(-8.4)-22cdot1020=13.8, x4^(1)&=601-10cdot60-8cdot(-8.4)-10cdot13.815approx-4.6533 .
Iteração 1:
Erro relativo (cada componente)
Iteração 2:
com erros
Passo 4
© Comentário sobre convergência
Para Gauss-Seidel convergir rápido, normalmente precisa que a matriz seja estritamente diagonalmente dominante (em cada linha, módulo do termo diagonal > soma dos outros módulos). Aqui isso não acontece, logo os valores “pulam” muito e não estabilizam – dá erro gigante nas iterações. Já o método direto (eliminações) sempre chega na solução exata em número finito de passos se não der divisão por zero (por isso pivoteamos).
Para Gauss-Seidel convergir rápido, normalmente precisa que a matriz seja estritamente diagonalmente dominante (em cada linha, módulo do termo diagonal > soma dos outros módulos). Aqui isso não acontece, logo os valores “pulam” muito e não estabilizam – dá erro gigante nas iterações. Já o método direto (eliminações) sempre chega na solução exata
Resposta
(a)
(b) Iteração 1: , erro relativo por componente
Iteração 2: , erros
© O Gauss-Seidel não converge (matriz não domina diagonalmente), mas a eliminação direta com pivoteamento parcial dá a solução exata.
(b) Iteração 1:
Iteração 2:
© O Gauss-Seidel não converge (matriz não domina diagonalmente), mas a eliminação direta com pivoteamento parcial dá a solução exata.