Determine a fatoração de Cholesky da matriz do sistema simétrico:
ccc8 & 20 & 15 20 & 80 & 50 15 & 50 & 60.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem um sistema linear com matriz simétrica
A = 8 & 20 & 15 20 & 80 & 50 15 & 50 & 60
e vetor de termos independentes A = L,L^T .
Conteúdo: fatoração de Cholesky.
O que precisamos: achar uma matriz triangular inferior tal que
Em seguida, poderíamos resolver , mas aqui só pedem .

Passo 2

Teoria básica de Cholesky: para uma matriz A = L,L^T, simétrica e definida positiva, existe aij = sumk=1^min(i,j) ellik,elljk (triangular inferior com diagonais positivas) tal que
ou seja,
Daí as fórmulas padrão:
  1. .
  2. para .
  3. Para :
    .
  4. Para :

Passo 3

Calcular ell11 = raiz8 :

Passo 4

Para ell21 = 20raiz8, ell31 = 15raiz8 , :

Passo 5

Calcular ell21^2 = 20^28 = 50, a22=80 ;Longrightarrow; ell22 = raiz80 - 50 = raiz30 usando
:

Passo 6

Calcular ell31,ell21 = 15raiz8,20raiz8 = 3008 = 37.5, a32=50 com
ell32 = 50 - 37.5raiz30 = 12.5raiz30 :

Passo 7

Calcular ell31^2 = 15^28 = 28.125, ell32^2 = 12.5^230 approx 5.2083, a33 = 60 via
ell33 = raiz60 - (28.125 + 5.2083) = raiz26.6667 = raiztfrac803 :

Resposta

A fatoração de Cholesky L = raiz8 & 0 & 0[6pt] dfrac20raiz8 & raiz30 & 0[6pt] dfrac15raiz8 & dfrac12.5raiz30 & raiztfrac803 fica com

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