Considere o sistema de numeração de ponto flutuante normalizado
O maior número positivo em
é
Qual destes números possui representação exata em
? Para este efeito, desconsidere erros de conversão muito pequenos, que nesse processo acarretariam uma sequencia de zeros ou (
)'s consecutivos mais longa do que as posições remanecentes na mantissa.
0.15781497955322266
O maior número positivo em
Qual destes números possui representação exata em
0.15781497955322266
Passo 1
O enunciado define o sistema de ponto flutuante normalizado
onde
onde
- a base é
, - a precisão (número de dígitos na mantissa) é
, - o menor expoente é
e o maior é .
Pede-se:
- O maior número positivo em
. - Qual dos três valores dados possui representação exata em
.
Para resolvermos, vamos precisar da fórmula do maior número em ponto flutuante normalizado e lembrar que todo número representável emé da forma
com, e .
Passo 2
Em ponto flutuante normalizado, o maior número positivo ocorre quando escolhemos a mantissa máxima
e o maior expoente
. A mantissa máxima vale
Portanto, o maior número é
Passo 3
Para verificar se um dado valor decimal possui representação exata em
, precisamos:
– Normalizá-lo em base , encontrando um expoente
tal que
.
– Converter para a forma hexadecimal
.
– Checar se depois de surgem zeros infinitos (ou 15’s infinitos), ou seja, se a expansão pára em no máximo 3 dígitos.
– Normalizá-lo em base
– Converter
– Checar se depois de
Passo 4
Teste com
.
– Encontra-se tal que
; obtém-se
e um
.
– Converter para hex dá aproximadamente
, cuja expansão não pára em 3 dígitos.
Logo, não é exato em .
– Encontra-se
– Converter
Logo, não é exato em
Passo 5
Teste com
.
– Normalizando em base 16, escolhe-se e obtém-se
.
– A conversão para hex gera , também não cessando em 3 dígitos.
Portanto, não é exato.
– Normalizando em base 16, escolhe-se
– A conversão para hex gera
Portanto, não é exato.
Passo 6
Teste com
.
– Normaliza-se com (ou
), obtendo-se
ou outro valor fora do intervalo correto, e em qualquer caso a expansão não termina em 3 dígitos hex.
Assim, também não é exato.
– Normaliza-se com
Assim, também não é exato.
Resposta
O maior número positivo em
é
Nenhum dos três valores fornecidos tem representação exata em
.