3-
Determine todas as raízes da equação x^{3}-13.95809 x^{2}+55.51576 x-47.6172=0, com pelo menos 3 casas decimais exatas. Para isso, inicie pela primeira raiz positiva.
Primeira raiz positiva \square
Segunda raiz positiva \square
Terceira raiz \square

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação cúbica
x^{3}-13.95809\,x^{2}+55.51576\,x-47.6172=0
e encontrar suas três raízes com pelo menos três casas decimais exatas. Vamos usar dois conteúdos principais:
– método de Newton para achar a primeira raiz positiva;
– divisão sintética para reduzir a cúbica a uma quadrática;
– fórmula de Bhaskara para obter as duas raízes restantes.

Passo 2

Aplique o método de Newton para aproximar a primeira raiz positiva. Defina
f(x)=x^{3}-13.95809\,x^{2}+55.51576\,x-47.6172, \quad f'(x)=3x^{2}-27.91618\,x+55.51576.
Escolhemos chute inicial x_{0}=1{,}2. A iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Fazendo duas ou três iterações obtemos
x_{1}\approx1{,}1746,\quad x_{2}\approx1{,}1767,
de onde, com três casas decimais exatas,
x_{1}\approx1{,}177.

Passo 3

Agora dividimos o polinômio original por (x-1.1767) via divisão sintética. Os coeficientes são
1,\quad -13.95809,\quad 55.51576,\quad -47.6172.
Após a divisão sintética obtemos o polinômio quadrático
x^{2}-12.78139\,x+40.47592=0.

Passo 4

Para resolver
x^{2}-12.78139\,x+40.47592=0
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta =(-12.78139)^{2}-4\cdot1\cdot40.47592\approx1.46025,
\sqrt{\Delta}\approx1.2083.
Logo as raízes são
x = \frac{12.78139\pm1.2083}{2},
isto é
x_{2}\approx\frac{12.78139-1.2083}{2}\approx5.787, \quad x_{3}\approx\frac{12.78139+1.2083}{2}\approx6.995.

Resposta

Primeira raiz positiva 1{,}177
Segunda raiz positiva 5{,}787
Terceira raiz 6{,}995

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