Determine todas as raízes da equação x^{3}-9.50876 x^{2}+27.71496 x-25.31752=0, com pelo menos 3 casas decimais exatas. Para isso, inicie pela primeira raiz positiva.
Primeira raiz positiva \square
Segunda raiz positiva \square
Terceira raiz \square

Passo 1

O enunciado pede todas as raízes da equação cúbica
x^{3}-9.50876\,x^{2}+27.71496\,x-25.31752=0
com pelo menos três casas decimais exatas, começando pela menor raiz positiva. Para isso, vamos usar:
  1. Método de Newton para isolar a primeira raiz real positiva.
  2. Divisão sintética para reduzir a cúbica a uma quadrática.
  3. Fórmula de Bhaskara para obter as duas raízes restantes.

Passo 2

Aplicamos o Método de Newton à função
f(x)=x^{3}-9.50876\,x^{2}+27.71496\,x-25.31752
com derivada
f'(x)=3x^{2}-2\cdot9.50876\,x+27.71496\,.
Escolhendo chute inicial x_{0}=2, fazemos iterações
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
e convergimos para
x_{1}\approx1.958113\,.
Portanto, a primeira raiz positiva, com três casas decimais exatas, é
x_{1}=1.958

Passo 3

Agora dividimos o polinômio original por (x - x_{1}) via divisão sintética:
Coeficientes iniciais: 1,\,-9.50876,\;27.71496,\,-25.31752
Usando x_{1}=1.958113, obtemos o polinômio quadrático resultante
x^{2}-7.550647\,x+12.93036=0\,.

Passo 4

Resolvemos a quadrática
x^{2}-7.550647\,x+12.93036=0
pela fórmula de Bhaskara:
\Delta =(-7.550647)^{2}-4\cdot1\cdot12.93036\approx5.31483, \quad \sqrt{\Delta}\approx2.30561,
x_{2}=\frac{7.550647+2.30561}{2}\approx4.9281285, \quad x_{3}=\frac{7.550647-2.30561}{2}\approx2.6225185.
Com três casas decimais exatas, as duas raízes restantes são
x_{2}=2.623,\quad x_{3}=4.928.

Resposta

Primeira raiz positiva 1{,}958
Segunda raiz positiva 2{,}623
Terceira raiz 4{,}928

Exercícios relacionados