Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss Seidel, verifique a convergência.
20 x1+2 x2+6 x3 & =38 x1-20 x2+9 x3 & =-23 2 x1-7 x2-20 x3 & =-57

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o sistema linear de três equações
20x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 38, x₁ − 20x₂ + 9x₃ = −23, 2x₁ −7x₂ −20x₃ = −57
o objetivo é usar o método iterativo de Gauss–Seidel para aproximar (x₁,x₂,x₃) e antes verificar se ele converge.

Passo 2

Verificação de convergência: Checamos a dominância diagonal estrita em cada linha para garantir a convergência do método de Gauss-Seidel.
Para a linha 1: |20| > |2|+|6| ⇒ 20>8;
linha 2: |−20| > |1|+|9| ⇒ 20>10;
linha 3: |−20| > |2|+|−7| ⇒ 20>9
Como todas satisfazem dominância diagonal estrita, o método de Gauss–Seidel converge.

Passo 3

Definição das fórmulas iterativas isolando cada incógnita nas equações originais:
x1^(k+1) = 38 - 2,x2^(k) - 6,x3^(k)20
x2^(k+1) = 23 + x1^(k+1) + 9,x3^(k)20
x3^(k+1) = 57 + 2,x1^(k+1) - 7,x2^(k+1)20

Passo 4

Escolha de x^{(0)}=(0,0,0) e critério de parada ||x{(k+1)}−x{(k)}||∞<10^{-4}.

Passo 5

Aplicação prática: calculamos iterações sucessivas até atender ao critério:
Iteração 1: x^{(1)}=(1.90000, 1.24500, 2.60425)
Iteração 2: x^{(2)}=(0.99422, 2.37162, 2.11935)
Iteração 3: x^{(3)}=(1.02703, 2.15506, 2.19843)
Continuando o processo, após 8 iterações obtemos variação abaixo de 10^{-4} em todas as componentes.

Resposta

x1approx1.02517, x2approx2.18565, x3approx2.18754

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