Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss Seidel, verifique a convergência.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o sistema linear de três equações
20x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 38, x₁ − 20x₂ + 9x₃ = −23, 2x₁ −7x₂ −20x₃ = −57
o objetivo é usar o método iterativo de Gauss–Seidel para aproximar (x₁,x₂,x₃) e antes verificar se ele converge.
20x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 38, x₁ − 20x₂ + 9x₃ = −23, 2x₁ −7x₂ −20x₃ = −57
o objetivo é usar o método iterativo de Gauss–Seidel para aproximar (x₁,x₂,x₃) e antes verificar se ele converge.
Passo 2
Verificação de convergência: Checamos a dominância diagonal estrita em cada linha para garantir a convergência do método de Gauss-Seidel.
Para a linha 1: |20| > |2|+|6| ⇒ 20>8;
linha 2: |−20| > |1|+|9| ⇒ 20>10;
linha 3: |−20| > |2|+|−7| ⇒ 20>9
Como todas satisfazem dominância diagonal estrita, o método de Gauss–Seidel converge.
Para a linha 1: |20| > |2|+|6| ⇒ 20>8;
linha 2: |−20| > |1|+|9| ⇒ 20>10;
linha 3: |−20| > |2|+|−7| ⇒ 20>9
Como todas satisfazem dominância diagonal estrita, o método de Gauss–Seidel converge.
Passo 3
Definição das fórmulas iterativas isolando cada incógnita nas equações originais:
Passo 4
Escolha de x^{(0)}=(0,0,0) e critério de parada ||x{(k+1)}−x{(k)}||∞<10^{-4}.
Passo 5
Aplicação prática: calculamos iterações sucessivas até atender ao critério:
Iteração 1: x^{(1)}=(1.90000, 1.24500, 2.60425)
Iteração 2: x^{(2)}=(0.99422, 2.37162, 2.11935)
Iteração 3: x^{(3)}=(1.02703, 2.15506, 2.19843)
Continuando o processo, após 8 iterações obtemos variação abaixo de 10^{-4} em todas as componentes.
Iteração 1: x^{(1)}=(1.90000, 1.24500, 2.60425)
Iteração 2: x^{(2)}=(0.99422, 2.37162, 2.11935)
Iteração 3: x^{(3)}=(1.02703, 2.15506, 2.19843)
Continuando o processo, após 8 iterações obtemos variação abaixo de 10^{-4} em todas as componentes.