Considere o sistema
Dê a solução exata desse sistema ou com pelo menos dois digitos corretos.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas:
Isso cai em Álgebra Linear, mais precisamente em métodos de resolução de sistemas lineares. Para resolver, a gente vai usar o método de eliminação, que basicamente consiste em isolar uma variável e ir substituindo nas outras equações até achar todas as soluções.

Passo 2

Primeiro, vou isolar 5x + y + z = 3 Longrightarrow y = 3 - 5x - z na primeira equação. Da primeira temos
Aqui estou usando a teoria de “isolar uma variável”: tiro o que não é pro outro lado.

Passo 3

Agora substituo esse 3x + 4y + z = 1 na segunda equação
3x + 4(3 - 5x - z) + z = 1
Fica
3x - 20x + 12 - 4z + z = 1 ;Longrightarrow; -17x + 12 - 3z = 1
Vou simplificar passo a passo:
  1. -17x - 3z = 1 - 12 = -11 .
  2. Então 17x + 3z = 11 .
  3. Agrupando termos de e :
  1. Passando o 12 pro outro lado:
Pra ficar mais bonitinho, multiplico tudo por :
Vou chamar isso de Equação (A).

Passo 4

Agora faço o mesmo na terceira equação, usando 6x + 3y + 3z = 0 ;Longrightarrow; 6x + 3(3 - 5x - z) + 3z = 0 :
6x - 15x + 9 - 3z + 3z = 0 ;Longrightarrow; -9x + 9 = 0
Simplificando:
  1. -9x = -9 Longrightarrow x = 1 .
  2. .
  3. Junta termos de e :
Ou seja,
Chamo isso de Equação (B).

Passo 5

A partir de (B) já tenho 17x + 3z = 11 ;Longrightarrow; 17cdot1 + 3z = 11 ;Longrightarrow; 17 + 3z = 11 ;Longrightarrow; 3z = 11 - 17 = -6 ;Longrightarrow; z = -2 . Agora volto em (A):

Passo 6

Falta achar y = 3 - 5x - z ;Longrightarrow; y = 3 - 5cdot1 - (-2) ;Longrightarrow; y = 3 - 5 + 2 = 0 . Volto na expressão que isolou :

Resposta

A solução exata do sistema é
boxed(x,y,z) = (1,,0,,-2)

Exercícios relacionados