Considere uma substância hipotética cuja condutividade térmica seja representada na tabela a seguir:
150
200
250
300
350
400
450
500
0,751
0,779
0,815
0,870
0,923
1,005
1,080
1,128
Obtenha o polinômio interpolador que forneça a condutividade térmica da substância para qualquer temperatura do intervalo considerado (150 a 500K). Utilize os métodos do interpolador de Lagrange e de diferenças divididas de Newton.
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150 | 200 | 250 | 300 | 350 | 400 | 450 | 500 |
|
0,751 | 0,779 | 0,815 | 0,870 | 0,923 | 1,005 | 1,080 | 1,128 |
Passo 1
O enunciado pede para construir um polinômio de grau até sete que interpole os oito pontos (T_i,k_i) dados na tabela, usando dois métodos clássicos: Lagrange e Newton com diferenças divididas.
Passo 2
Para o método de Lagrange, a ideia é escrever
onde cada polinômio básico
é dado por
Aqui
são as temperaturas (150, 200, …, 500) e
os valores correspondentes da condutividade.
Passo 3
No método de Newton, montamos a tabela de diferenças divididas. Chamando
,
,
, … até
,
possuímos o polinômio
possuímos o polinômio
Calculando na prática as diferenças divididas com passo uniforme
, obtemos aproximadamente:
Passo 4
Usando esses
no formato de Newton, obtemos o polinômio explícito.
O polinômio de Lagrange fica então escrito como soma de oito termos com os , e o de Newton segue a forma acima com os
calculados.
O polinômio de Lagrange fica então escrito como soma de oito termos com os
Resposta
P_L(x)=\sum_{i=0}^{7}k_i\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{7}\frac{x-T_j}{T_i-T_j}, onde:
T_0=150, T_1=200, T_2=250, T_3=300, T_4=350, T_5=400, T_6=450, T_7=500
e k_0=0.751, k_1=0.779, k_2=0.815, k_3=0.870, k_4=0.923, k_5=1.005, k_6=1.080, k_7=1.128.
T_0=150, T_1=200, T_2=250, T_3=300, T_4=350, T_5=400, T_6=450, T_7=500
e k_0=0.751, k_1=0.779, k_2=0.815, k_3=0.870, k_4=0.923, k_5=1.005, k_6=1.080, k_7=1.128.
P_N(x)=0.751
+0.00056(x-150)
+1.6\times10^{-6}(x-150)(x-200)
+1.4667\times10^{-8}(x-150)(x-200)(x-250)
-2.133\times10^{-10}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)
+2.24\times10^{-12}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)(x-350)
-1.8045\times10^{-14}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)(x-350)(x-400)
+1.0286\times10^{-16}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)(x-350)(x-400)(x-450).
+0.00056(x-150)
+1.6\times10^{-6}(x-150)(x-200)
+1.4667\times10^{-8}(x-150)(x-200)(x-250)
-2.133\times10^{-10}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)
+2.24\times10^{-12}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)(x-350)
-1.8045\times10^{-14}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)(x-350)(x-400)
+1.0286\times10^{-16}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)(x-350)(x-400)(x-450).