Considere uma substância hipotética cuja condutividade térmica seja representada na tabela a seguir:
|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline$T[K]$ & 150 & 200 & 250 & 300 & 350 & 400 & 450 & 500 hline$k[W / mK]$ & 0,751 & 0,779 & 0,815 & 0,870 & 0,923 & 1,005 & 1,080 & 1,128 hline 150 200 250 300 350 400 450 500
0,751 0,779 0,815 0,870 0,923 1,005 1,080 1,128
Obtenha o polinômio interpolador que forneça a condutividade térmica da substância para qualquer temperatura do intervalo considerado (150 a 500K). Utilize os métodos do interpolador de Lagrange e de diferenças divididas de Newton.

Passo 1

O enunciado pede para construir um polinômio de grau até sete que interpole os oito pontos (T_i,k_i) dados na tabela, usando dois métodos clássicos: Lagrange e Newton com diferenças divididas.

Passo 2

Para o método de Lagrange, a ideia é escrever
PL(x)=sumi=0^7ki,Li(x),
onde cada polinômio básico Li(x) é dado por
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^7x-TjTi-Tj
Aqui Ti são as temperaturas (150, 200, …, 500) e ki os valores correspondentes da condutividade.

Passo 3

No método de Newton, montamos a tabela de diferenças divididas. Chamando
a0=k0,
a1=f[T0,T1],
a2=f[T0,T1,T2], … até a7=f[T0,dots,T7],
possuímos o polinômio
PN(x)=a0 + a1(x-T0)+a2(x-T0)(x-T1)+cdots + a7(x-T0)cdots(x-T6)
Calculando na prática as diferenças divididas com passo uniforme De, obtemos aproximadamente:

Passo 4

Usando esses ai no formato de Newton, obtemos o polinômio explícito.
O polinômio de Lagrange fica então escrito como soma de oito termos com os Li(x), e o de Newton segue a forma acima com os ai calculados.

Resposta

P_L(x)=\sum_{i=0}^{7}k_i\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{7}\frac{x-T_j}{T_i-T_j}, onde:
T_0=150, T_1=200, T_2=250, T_3=300, T_4=350, T_5=400, T_6=450, T_7=500
e k_0=0.751, k_1=0.779, k_2=0.815, k_3=0.870, k_4=0.923, k_5=1.005, k_6=1.080, k_7=1.128.
P_N(x)=0.751
+0.00056(x-150)
+1.6\times10^{-6}(x-150)(x-200)
+1.4667\times10^{-8}(x-150)(x-200)(x-250)
-2.133\times10^{-10}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)
+2.24\times10^{-12}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)(x-350)
-1.8045\times10^{-14}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)(x-350)(x-400)
+1.0286\times10^{-16}(x-150)(x-200)(x-250)(x-300)(x-350)(x-400)(x-450).

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