Seja x in[0,1] para todo pxi(x). Denotamos por [0, xi] a função continua e linear em cada um dos intervalos e[xi, 1] f(x) que interpola 0, xi, 1 nos pontos xi. Determinar [0,1] de tal modo que seja menor que 0.02 em .

Passo 1

Estamos com uma função fin C^2[0,1] satisfazendo |f''(x)|<= x^2 e construímos um interpolador linear pxi(x) por partes, que passa por x=0,,x=xi,,x=1. Queremos |f(x)-pxi(x)|<0.02 em todo [0,1].

Passo 2

Na teoria de interpolação de Lagrange de grau 1, em cada subintervalo [a,b] vale:
f(x)-p(x)=f"(eta)2,(x-a)(x-b)

Passo 3

Para xin[0,xi], temos a=0, b=xi e |f''(eta)|<= eta^2<= xi^2. Assim
|f(x)-pxi(x)|<= xi^22,|x(x-xi)|
O máximo de |x(x-xi)| em [0,xi] ocorre em x=xi/2, vale xi^2/4. Logo
|f(x)-pxi(x)|<= xi^22cdotxi^24=xi^48

Passo 4

Para xin[xi,1], igual, com a=xi, b=1 e |f''(eta)|<=1. Obtém-se
|f(x)-pxi(x)|<= 12,|,(x-xi)(x-1),|
O máximo de |(x-xi)(x-1)| em [xi,1] ocorre em x=(xi+1)/2, valendo (1-xi)^2/4. Assim
|f(x)-pxi(x)|<= 12cdot(1-xi)^24=(1-xi)^28

Passo 5

Exigindo ambas as cotas menores que 0.02
xi^48<=0.02Longrightarrowxi^4<=0.16Longrightarrow xi<=(0.16)^1/4approx0.6325

Passo 6

(1-xi)^28<=0.02Longrightarrow(1-xi)^2<=0.16Longrightarrow |1-xi|<=0.4Longrightarrow xi>=0.6

Passo 7

Logo qualquer xi em [0.6,,(0.16)^1/4] funciona. Para minimizar o máximo dos dois erros, igualamos xi^4=(1-xi)^2, ou seja xi^2=1-xi.

Passo 8

Resolvendo xi^2+xi-1=0 obtemos
xi=-1+raiz1+42=raiz5-12approx0.61803

Passo 9

Com essa escolha o erro máximo é
max|f-pxi|=xi^48=7-3raiz516approx0.0183<0.02

Resposta

Um bom valor é xi=(raiz5-1)/2approx0.618, que garante |f(x)-pxi(x)|<0.02 em todo [0,1].

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