Considere x=0,5289, y=0,8012 e z=0,6024 e operações em ponto flutuante numa mantissa com 4 dígitos (os números são sempre arredondados e normalizados após cada operação). Mostre que:
x \times(y+z) \neq x \times y+x \times z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em ponto flutuante com mantissa de quatro dígitos e arredondamento após cada operação, a propriedade distributiva
x\times(y+z)=x\times y+x\times z
falha para x=0,5289, y=0,8012 e z=0,6024. Vamos então calcular cada lado, arredondando para quatro dígitos significativos após cada soma ou multiplicação.

Passo 2

Calcular (y+z)_\mathrm{flt}.
Precisão infinita:
y+z=0,8012+0,6024=1,4036.
Arredondando para quatro dígitos significativos, olhamos para os quatro primeiros dígitos “1 403” e o quinto “6” (≥5), logo
(y+z)_\mathrm{flt}=1,404.

Passo 3

Calcular \bigl(x\times(y+z)\bigr)_\mathrm{flt}.
Precisão infinita:
0,5289\times1,404=0,7425756.
Quatro dígitos significativos: “7425” com próximo dígito “7” (≥5), logo
\bigl(x\times(y+z)\bigr)_\mathrm{flt}=0,7426.

Passo 4

Calcular (x\times y)_\mathrm{flt}.
Precisão infinita:
0,5289\times0,8012=0,42375468.
Quatro dígitos significativos: “4237” com próximo dígito “5” (≥5), logo
(x\times y)_\mathrm{flt}=0,4238.

Passo 5

Calcular (x\times z)_\mathrm{flt}.
Precisão infinita:
0,5289\times0,6024=0,31860936.
Quatro dígitos significativos: “3186” com próximo dígito “0” (<5), logo
(x\times z)_\mathrm{flt}=0,3186.

Passo 6

Calcular \bigl((x\times y)+(x\times z)\bigr)_\mathrm{flt}.
Precisão infinita da soma:
0,4238+0,3186=0,7424.
Já são quatro dígitos significativos e não há quinto dígito para arredondar, logo
(x\times y+x\times z)_\mathrm{flt}=0,7424.

Passo 7

Comparando os dois resultados:
\bigl(x\times(y+z)\bigr)_\mathrm{flt}=0,7426 \quad\neq\quad (x\times y+x\times z)_\mathrm{flt}=0,7424.
Isso mostra que a distributividade não vale em ponto flutuante com essas características.

Resposta

x\times(y+z)\approx0,7426 \quad\text{e}\quad x\times y+x\times z\approx0,7424,
logo são diferentes.

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