Questão 01: Aplique Euler para a função a seguir, com h=0.1 e estime \mathrm{y}(1.8), use \mathrm{y}_{0}=2 e \mathrm{x}_{0}=0 como o PVI.
y^{\prime}=-y+x+2

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução do PVI
y' = -y + x + 2,\quad y(0)=2
no ponto x=1.8 usando o método de Euler explícito com passo h=0.1.

Passo 2

O método de Euler explícito usa a fórmula de recorrência
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n),
onde x_n = x_0 + n\,h e f(x,y) = -y + x + 2.

Passo 3

Substituindo f e h=0.1 na recorrência:
y_{n+1} = y_n + 0.1\,(-y_n + x_n + 2) = 0.9\,y_n + 0.1\,x_n + 0.2.
Como x_n = 0.1\,n, isto vira
y_{n+1} = 0.9\,y_n + 0.01\,n + 0.2.

Passo 4

Agora iteramos de n=0 até n=18 (pois x_{18}=0+18\cdot0.1=1.8). Os primeiros valores são
y_0 = 2,\quad y_1 = 0.9\cdot2 + 0.01\cdot0 + 0.2 = 2.0,\quad y_2 = 0.9\cdot2.0 + 0.01\cdot1 + 0.2 = 2.01,
e seguindo até
y_{18} \approx 2.9500946.

Passo 5

Como x_{18}=1.8, a estimativa pelo método de Euler é
y(1.8)\approx y_{18}\approx 2.9500946.

Resposta

\displaystyle y(1.8)\approx 2.9501

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