Questão 02: Aplique Euler para a função a seguir, com h=0.001 e estime \mathrm{y}(1.8), use \mathrm{y}_{0}=2 e \mathrm{x}_{0}=0 como o PVI.
y^{\prime}=-y+x+2

Passo 1

O problema dá o PVI
y'(x) = -\,y(x) + x + 2,\quad y(0)=2
e pede para aplicar o método de Euler explícito com passo h=0,001 para estimar y(1,8). Vamos usar a fórmula recursiva de Euler para aproximar y_n\approx y(x_n), onde x_n = x_0 + n\,h.

Passo 2

O método de Euler explícito diz que, dado
y_{n+1} = y_n + h\,f\bigl(x_n,y_n\bigr),
no nosso caso f(x,y) = -y + x + 2. Logo
y_{n+1} = y_n + h\bigl(-y_n + x_n + 2\bigr), \quad x_{n+1} = x_n + h.

Passo 3

Usando x_0=0\) e \(y_0=2\), a iteração fica \[\begin{cases} y_{n+1} = y_n + 0{,}001\bigl(-y_n + x_n + 2\bigr),\\\ x_{n+1} = x_n + 0{,}001, \end{cases}
e precisamos avançar até x_N=1{,}8\]. Como \(h=0{,}001, temos N = \frac{1{,}8-0}{0{,}001}=1800 passos.

Passo 4

Implementando essa recursão (por exemplo, em Python, MATLAB ou numa planilha), fazemos 1800 atualizações de (x_n,y_n). Cada passo é rápido, mas é inviável fazer à mão; o importante é entender a fórmula acima.

Passo 5

Ao implementar numericamente a iteração, obtém-se
y_{1800}\approx 2{,}9646.

Resposta

y(1,8)\approx 2{,}9646 usando Euler explícito com h=0,001.

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