Construa o polinômio interpolador para os pontos
usando o método de diferenças divididas de Newton.
Passo 1
O enunciado fornece três pontos e pede que eu construa o polinômio interpolador que passa por esses pontos.
Pontos dados:
,
e
.
O que é pedido: construir o polinômio interpolador que passa por esses três pontos usando o método de diferenças divididas de Newton — isto é, encontrar um polinômio tal que
,
e
.
Pontos dados:
O que é pedido: construir o polinômio interpolador que passa por esses três pontos usando o método de diferenças divididas de Newton — isto é, encontrar um polinômio
Passo 2
Explico a ideia do método de diferenças divididas de Newton de forma bem direta e prática.
- Temos abscissas
e valores . Aqui vou numerar os pontos:
-
Definição de diferenças divididas (notação):
(diferença de ordem zero),
(diferença dividida de primeira ordem),
(diferença dividida de segunda ordem), e assim por diante. -
O polinômio de Newton de grau
(aqui , grau ≤ 2) escrito na forma de Newton é: Cada coeficienteé obtido pela tabela de diferenças divididas. Vou construir essa tabela passo a passo.
Passo 3
Calculo as diferenças divididas de ordem zero (são os próprios valores) e de primeira ordem.
-
Diferenças de ordem zero:
-
Diferenças divididas de primeira ordem:
Passo 4
Calculo a diferença dividida de segunda ordem (usando as primeiras ordens já calculadas).
- Diferença dividida de segunda ordem:
Agora tenho todos os coeficientes necessários:
Passo 5
Substituo os coeficientes na forma do polinômio de Newton e simplifico passo a passo.
-
Forma de Newton (com
e ): -
Substituindo os valores:
-
Simplificando termo a termo:
Passo 6
Verificação rápida (importante para ter confiança na resposta): avalio
nos pontos dados.
- Para
: - Para
: - Para
:
Tudo bate, então o polinômio está correto.