Construa o polinômio interpolador para os pontos (0,1),(1,3),(2,7) usando o método de diferenças divididas de Newton.

Passo 1

O enunciado fornece três pontos e pede que eu construa o polinômio interpolador que passa por esses pontos.
Pontos dados:
(0,1), (1,3) e (2,7).
O que é pedido: construir o polinômio interpolador que passa por esses três pontos usando o método de diferenças divididas de Newton — isto é, encontrar um polinômio P(x) tal que P(0)=1, P(1)=3 e P(2)=7.

Passo 2

Explico a ideia do método de diferenças divididas de Newton de forma bem direta e prática.
  • Temos abscissas x_0,x_1,\dots e valores f(x_0),f(x_1),\dots. Aqui vou numerar os pontos: x_0 = 0,\quad f(x_0)=1;
x_1 = 1,\quad f(x_1)=3;
x_2 = 2,\quad f(x_2)=7.
  • Definição de diferenças divididas (notação):
    \displaystyle f[x_i]=f(x_i) (diferença de ordem zero),
    \displaystyle f[x_i,x_j]=\frac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i} (diferença dividida de primeira ordem),
    \displaystyle f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i} (diferença dividida de segunda ordem), e assim por diante.
  • O polinômio de Newton de grau n-1 (aqui n=3, grau ≤ 2) escrito na forma de Newton é:
    P(x)=f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1).
    Cada coeficiente f[\cdots] é obtido pela tabela de diferenças divididas. Vou construir essa tabela passo a passo.

Passo 3

Calculo as diferenças divididas de ordem zero (são os próprios valores) e de primeira ordem.
  • Diferenças de ordem zero:
    f[x_0]=1,\qquad f[x_1]=3,\qquad f[x_2]=7.
  • Diferenças divididas de primeira ordem:
    f[x_0,x_1] = \frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0} = \frac{3-1}{1-0} = \frac{2}{1} = 2.
f[x_1,x_2] = \frac{f[x_2]-f[x_1]}{x_2-x_1} = \frac{7-3}{2-1} = \frac{4}{1} = 4.

Passo 4

Calculo a diferença dividida de segunda ordem (usando as primeiras ordens já calculadas).
  • Diferença dividida de segunda ordem: f[x_0,x_1,x_2] = \frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} = \frac{4-2}{2-0} = \frac{2}{2} = 1.
Agora tenho todos os coeficientes necessários:
f[x_0]=1,\quad f[x_0,x_1]=2,\quad f[x_0,x_1,x_2]=1.

Passo 5

Substituo os coeficientes na forma do polinômio de Newton e simplifico passo a passo.
  • Forma de Newton (com x_0=0 e x_1=1):
    P(x)=f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1).
  • Substituindo os valores:
    P(x)=1 + 2(x-0) + 1\cdot(x-0)(x-1).
  • Simplificando termo a termo:
    P(x)=1 + 2x + x(x-1).
P(x)=1 + 2x + x^2 - x.
P(x)=x^2 + x + 1.

Passo 6

Verificação rápida (importante para ter confiança na resposta): avalio P nos pontos dados.
  • Para x=0: P(0)=0^2+0+1=1 \quad\checkmark
  • Para x=1: P(1)=1^2+1+1=3 \quad\checkmark
  • Para x=2: P(2)=2^2+2+1=7 \quad\checkmark
Tudo bate, então o polinômio está correto.

Resposta

P(x)=x^{2}+x+1

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