Construir explicitamente o polinômio de Lagrange de grau n-1 se os nos de interpolação coincidem com os zeros xk=cos ((2 k- 1) pi /(2 n)), k=1, ldots, n, do polinômio de Chebyshev de primeira espécie Tn(x)=cos (n arccos x).

Passo 1

O enunciado pede para construir explicitamente o polinômio de interpolação de Lagrange de grau n-1 cujos nós são os zeros do polinômio de Chebyshev de 1ª espécie Tn(x)=cos(narccos x). Isso envolve usar a definição de Lagrange e a fatoração de Tn em função de seus zeros.

Passo 2

A definição do polinômio de Lagrange que interpola um conjunto de dados (xk,yk), k=1,dots,n, é
Ln-1(x)=sumk=1^nyk,ellk(x),
onde cada base de Lagrange é
ellk(x)=prodsubstackj=1jneq k^nx-xjxk-xj

Passo 3

Sabendo que os nós são os zeros de Tn, ou seja,
xk=cosl(tfrac(2k-1)pi2nr), k=1,dots,n,
podemos usar a fatoração do Chebyshev:
Tn(x)=2^n-1prodj=1^n(x-xj)
Assim,
prodj=1^n(x-xj)=Tn(x)2^n-1

Passo 4

Isolando o fator x-xk, obtemos
prodsubstackj=1jneq k^n(x-xj) =Tn(x)2^n-1(x-xk)
e também
prodsubstackj=1jneq k^n(xk-xj) =Tn'(xk)2^n-1
Logo podemos escrever
ellk(x)=Tn(x)(x-xk),Tn'(xk)

Passo 5

Para achar Tn'(xk) usamos a identidade Tn'(x)=n,Un-1(x), em que
Un-1(costheta)=sin(ntheta)sintheta
Tomando thetak=(2k-1)pi/(2n), temos
sin(nthetak)=sinl(tfrac(2k-1)pi2r)=(-1)^k-1,
portanto
Tn'(xk)=n,Un-1(xk)=n(-1)^k-1sinthetak =n(-1)^k-1sinl(tfrac(2k-1)pi2nr)

Passo 6

Substituindo em ellk(x) chega-se a
ellk(x) =Tn(x)(x-xk),sinl(tfrac(2k-1)pi2nr)n(-1)^k-1 =(-1)^k-1n,sinl(tfrac(2k-1)pi2nr)Tn(x)x-xk
Por fim, o polinômio de Lagrange fica
Ln-1(x)=sumk=1^n yk,ellk(x) =sumk=1^n yk,(-1)^k-1n,sinl(tfrac(2k-1)pi2nr)Tn(x)x-cosl(tfrac(2k-1)pi2nr)

Resposta

Para nós xk=cos((2k-1)pi/(2n)) e valores yk=f(xk), o polinômio de Lagrange é
Ln-1(x)=sumk=1^n f(xk),ellk(x),
onde
ellk(x)=(-1)^k-1n,sinl(tfrac(2k-1)pi2nr)Tn(x)x-cosl(tfrac(2k-1)pi2nr)

Exercícios relacionados