Construir explicitamente o polinômio de Lagrange de grau
se os nos de interpolação coincidem com os zeros
1)
, do polinômio de Chebyshev de primeira espécie
.
Passo 1
O enunciado pede para construir explicitamente o polinômio de interpolação de Lagrange de grau
cujos nós são os zeros do polinômio de Chebyshev de 1ª espécie
. Isso envolve usar a definição de Lagrange e a fatoração de
em função de seus zeros.
Passo 2
A definição do polinômio de Lagrange que interpola um conjunto de dados
,
, é
onde cada base de Lagrange é
Passo 3
Sabendo que os nós são os zeros de
, ou seja,
podemos usar a fatoração do Chebyshev:
Assim,
Passo 4
Isolando o fator
, obtemos
e também
Logo podemos escrever
Passo 5
Para achar
usamos a identidade
, em que
Tomando
, temos
portanto
Passo 6
Substituindo em
chega-se a
Por fim, o polinômio de Lagrange fica
Resposta
Para nós
e valores
, o polinômio de Lagrange é
onde