Construir explicitamente o polinômio de Lagrange de grau
se os nos de interpolação coincidem com os zeros
,
, do polinômio de Chebyshev de segunda espécie
Passo 1
A questão pede para construirmos explicitamente o polinômio de interpolação de Lagrange de grau
usando como nós os zeros
do polinômio de Chebyshev de segunda espécie
. O conteúdo envolvido é interpolação polinomial no formulismo de Lagrange e propriedades de
. Vamos precisar da definição de base de Lagrange e da fatoração de
em seus zeros.
Passo 2
Para montar o interpolador de Lagrange definimos os polinômios fundamentais
e o polinômio de interpolação de grau
é
onde
são os valores a interpolar.
Passo 3
O polinômio
tem grau
, coeficiente líder
e zeros exatamente em
. Logo
e, por diferenciação,
Passo 4
Comparando com a definição de
concluímos
e portanto
Passo 5
Falta só calcular
. Se
então
faz
. Usando
segue, após derivar e avaliar em
,
Passo 6
Logo o polinômio fundamental fica
e o polinômio de Lagrange geral é
Passo 7
Pronto! Obtivemos a forma totalmente explícita dos polinômios de Lagrange usando as propriedades de
.
Resposta
O polinômio de Lagrange de grau
para dados
nos nós
é
onde