Construir explicitamente o polinômio de Lagrange de grau n-1 se os nos de interpolação coincidem com os zeros xk=cos (k pi /(n+1)), k=1, ldots, n, do polinômio de Chebyshev de segunda espécie
Un(x)=sin ((n+1) arccos x)raiz1-x^2

Passo 1

A questão pede para construirmos explicitamente o polinômio de interpolação de Lagrange de grau n-1 usando como nós os zeros xk=cosl(kpi/(n+1)r) do polinômio de Chebyshev de segunda espécie Un(x). O conteúdo envolvido é interpolação polinomial no formulismo de Lagrange e propriedades de Un(x)=sinl((n+1)arccos xr)/raiz1-x^2. Vamos precisar da definição de base de Lagrange e da fatoração de Un(x) em seus zeros.

Passo 2

Para montar o interpolador de Lagrange definimos os polinômios fundamentais
lk(x)=prodsubstack1<= j<= njne kx-xjxk-xj,
e o polinômio de interpolação de grau n-1 é
Pn-1(x)=sumk=1^n yk,lk(x),
onde yk=f(xk) são os valores a interpolar.

Passo 3

O polinômio Un(x) tem grau n, coeficiente líder an=2^n e zeros exatamente em x1,dots,xn. Logo
Un(x)=2^nprodj=1^n(x-xj)
e, por diferenciação,
Un'(xk)=2^nprodsubstackj=1jne k^n(xk-xj)

Passo 4

Comparando com a definição de lk(x) concluímos
prodjne k(x-xj)=Un(x)2^n(x-xk),
prodjne k(xk-xj)=Un'(xk)2^n,
e portanto
lk(x)=Un(x)(x-xk),Un'(xk)

Passo 5

Falta só calcular Un'(xk). Se x=costheta então thetak=kpi/(n+1) faz Un(xk)=0. Usando
Un(costheta)=sin((n+1)theta)sintheta
segue, após derivar e avaliar em theta=thetak,
Un'(xk)=(n+1)(-1)^k-1sin^2l(kpi/(n+1)r)

Passo 6

Logo o polinômio fundamental fica
lk(x)=(-1)^k-1,sin^2l(tfrackpin+1r)n+1;Un(x)x-cosl(tfrackpin+1r)
e o polinômio de Lagrange geral é
Pn-1(x)=sumk=1^n yk;(-1)^k-1,sin^2l(tfrackpin+1r)n+1;Un(x)x-cosl(tfrackpin+1r)

Passo 7

Pronto! Obtivemos a forma totalmente explícita dos polinômios de Lagrange usando as propriedades de Un.

Resposta

O polinômio de Lagrange de grau n-1 para dados yk=f(xk) nos nós xk=cos(kpi/(n+1)) é
Pn-1(x)=sumk=1^n yk;(-1)^k-1,sin^2l(tfrackpin+1r)n+1;Un(x)x-cosl(tfrackpin+1r),
onde
Un(x)=sinl((n+1)arccos xr)raiz1-x^2

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