Encontre a inversa da seguinte matriz, através da decomposição LU:
ccc4 & 8 & 3 1 & 1 & 1 2 & -1 & -1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa de B usando decomposição LU, ou seja, fatorar B=LU e resolver B X=I coluna a coluna. O conteúdo aqui é fatoração de matriz e solução de sistemas triangulares.

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss sem pivoteamento para B= 4&8&31&1&12&-1&-1 obtemos as matrizes L e U:
L=1&0&01/4&1&01/2&5&1, U=4&8&30&-1&1/40&0&-15/4

Passo 3

Para a primeira coluna da inversa, tomamos b= e1=(1,0,0)^T. Resolvendo primeiro
L,y= e1
temos y_1=1, y_2=-1/4 e y_3=3/4. Depois resolvemos
U,x^(1)=y
obtendo

Passo 4

Para a segunda coluna, b= e2=(0,1,0)^T. De L y=e_2 vem y_1=0, y_2=1, y_3=-5. Em seguida U x^{(2)}=y dá

Passo 5

Para a terceira coluna, b= e3=(0,0,1)^T. De L y=e_3 obtemos y_1=0, y_2=0, y_3=1. Então U x^{(3)}=y resulta em

Resposta

A inversa fica
B^-1=0&1/3&1/31/5&-2/3&-1/15-1/5&4/3&-4/15

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