Sejam n in N, s0, ldots, sn-1 números reais e x0. Construir o polinômio P(x) de grau n-1, que satisfaz
integralxi^xi+1 P(x) d x=si, i=0, ldots, n-1

Passo 1

O enunciado pede um polinômio P(x) de grau n-1 tais que as áreas sob P(x) entre xi e xi+1 sejam si. O conteúdo envolvido é interpolação de polinômios e derivação de um antiderivado.

Passo 2

Definimos um polinômio F(x) de grau n tal que F'(x)=P(x). Então as condições integralxi^xi+1P(x),dx=si viram F(xi+1)-F(xi)=si, para i=0,dots,n-1.
Somando as diferenças sequencialmente, obtemos F(xi)=C+sumk=0^i-1sk. Como o valor absoluto de F não afeta P=F', podemos escolher C=0 e definir Si=sumk=0^i-1sk, i=0,dots,n, S0=0

Passo 3

Interpolamos F(x) nos pontos x0,dots,xn usando polinômios de Lagrange. Seja Li(x)=prodsubstackj=0 jneq i^nx-xjxi-xj,então o polinômio interpolador é F(x)=sumi=0^nSi,Li(x)

Passo 4

Finalmente, derivamos F(x) para obter P(x)=F'(x). Como Li(x) é conhecido, temos P(x)=sumi=0^nSi,Li'(x),onde Si=sumk=0^i-1sk.

Resposta

P(x)=sumi=0^nl(sumk=0^i-1skr),Li'(x), com Li(x)=prodsubstackj=0 jneq i^ndfracx-xjxi-xj

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