Uma construtora está monitorando a oscilação de uma ponte suspensa. Para verificar se as condições da ponte estão de acordo com o esperado, realiza medições e compara com um modelo matemático que representa a vibração da ponte ao longo de um determinado intervalo de tempo, definido pela função y(t)=5+3 sen^2(pi t10), onde y(t) representa a altura em milímetros de um ponto específico da ponte em relação ao seu ponto de equilíbrio, e t é o tempo, em segundo, após o início da medição.
Em relação a existência de extremos da função que representa o modelo de vibração da ponte, é correto afirmar que a função tem um ponto de

Passo 1

Beleza, vou resumir rapidinho: a função que a gente estuda é
.
O assunto aqui é calcular derivada pra achar extremos (máximos e mínimos).
Pra isso vamos precisar:
  1. saber derivar usando a regra da cadeia;
  2. resolver pra achar pontos críticos;
  3. classificar cada ponto (máximo ou mínimo) olhando o valor de .

Passo 2

Primeiro vamos achar a derivada y'(t) ;=; 3;times;2sin!l(tfracpi t10r)cos!l(tfracpi t10r);times;tfracpi10 = 6pi10,sin!l(tfracpi t10r)cos!l(tfracpi t10r) = 3pi5,sin!l(tfracpi t10r)cos!l(tfracpi t10r) .
  • Se com , então
    .
  • Aqui .
    Logo:

Passo 3

Agora, pra achar os pontos críticos, igualamos 3pi5,sin!l(tfracpi t10r)cos!l(tfracpi t10r)=0 Longrightarrow sin!l(tfracpi t10r)=0 ou cos!l(tfracpi t10r)=0 :
  1. quando , ou seja
    , com .
  2. quando , logo
    , com .

Passo 4

Pra classificar, basta ver os valores de nesses pontos:
  • Em : , então
    .
  • Em : , então
    .
    Como , a gente conclui que em a função atinge mínimos (valor 5)
    e em ela atinge máximos (valor 8).

Resposta

A função tem mínimos (globais e periódicos) de valor nos instantes e máximos (globais e periódicos) de valor nos instantes , para quaisquer inteiros .

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