Durante a realização de um estudo para definir a localização de sensores em um parque de energia solar, o engenheiro responsável analisa a distribuição de pontos de medição em um sistema tridimensional. Os pontos de medição analisados são:
  • P(1,1,2) - posição de um sensor principal de monitoramento.
  • Q(1,2,3) - ponto de medição de temperatura.
  • R(2,3,4) - ponto de medição de radiação solar.
  • S(3,4,6) - ponto de medição de umidade.
    Com base nas coordenadas desses pontos, o engenheiro verifica se as seguintes condições são atendidas:
    I. Se os pontos Q, Re S estão alinhados (são colineares).
    II. Se os pontos Q, R e S definem um plano.
    III. Se os pontos P, Q, ReS não são coplanares.
    Logo, o engenheiro conclui que, para esses pontos, apenas é(são) atendida(s) a(s) condição(ões):

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Temos quatro pontos no espaço:
P(1,1,2), Q(1,2,3), R(2,3,4) e S(3,4,6).
O conteúdo aqui é Geometria Analítica em 3D, mais exatamente o conceito de colinearidade (três pontos na mesma reta), definição de plano (três pontos não colineares sempre definem um plano) e coplanaridade (quatro pontos no mesmo plano).
Para resolver, a gente vai usar:
  • Vetores entre pares de pontos.
  • Proporcionalidade de vetores para colinearidade.
  • Produto misto (ou triplo escalar) para checar coplanaridade.

Passo 2

Verificando se Q, R e S são colineares.
  1. Calculo os vetores QR = R - Q = (2-1,;3-2,;4-3) = (1,1,1), QS = S - Q = (3-1,;4-2,;6-3) = (2,2,3)
  2. Dois vetores são proporcionais (colineares) se um é múltiplo escalar do outro. Aqui, não existe tal que
    , porque teria de valer 2 nos dois primeiros componentes e 3 no terceiro (incompatível).
    Logo, Q, R e S NÃO são colineares. A condição I é FALSA.

Passo 3

Verificando se Q, R e S definem um plano.
Teoria manda: qualquer três pontos que não são colineares formam um plano único.
Como vimos em

Passo 4

A condição II é VERDADEIRA.

Passo 5

Verificando se P, Q, R e S são coplanares (mesmo plano) ou não.
A gente calcula o produto misto dos vetores PQ = Q - P = (1-1,;2-1,;3-2) = (0,1,1), , PR = (2-1,;3-1,;4-2) = (1,2,2), e PS = (3-1,;4-1,;6-2) = (2,3,4) . Se der zero, são coplanares; se não, não são.
  1. Vetores: [PQ,PR,PS] = det 0 & 1 & 1 1 & 2 & 2 2 & 3 & 4 = -1 (não é zero)
  2. Produto misto (determinante): ãé
Como o resultado é diferente de zero, P, Q, R e S não são coplanares. A condição III é VERDADEIRA.

Resposta

Apenas as condições II e III são atendidas.

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