Durante a realização de um estudo para definir a localização de sensores em um parque de energia solar, o engenheiro responsável analisa a distribuição de pontos de medição em um sistema tridimensional. Os pontos de medição analisados são:
- posição de um sensor principal de monitoramento.
- ponto de medição de temperatura.
- ponto de medição de radiação solar.
- ponto de medição de umidade.
Com base nas coordenadas desses pontos, o engenheiro verifica se as seguintes condições são atendidas:
I. Se os pontos Q, Re S estão alinhados (são colineares).
II. Se os pontos e S definem um plano.
III. Se os pontos , , ReS não são coplanares.
Logo, o engenheiro conclui que, para esses pontos, apenas é(são) atendida(s) a(s) condição(ões):
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Temos quatro pontos no espaço:
P(1,1,2), Q(1,2,3), R(2,3,4) e S(3,4,6).
O conteúdo aqui é Geometria Analítica em 3D, mais exatamente o conceito de colinearidade (três pontos na mesma reta), definição de plano (três pontos não colineares sempre definem um plano) e coplanaridade (quatro pontos no mesmo plano).
Para resolver, a gente vai usar:
Vetores entre pares de pontos.
Proporcionalidade de vetores para colinearidade.
Produto misto (ou triplo escalar) para checar coplanaridade.
Passo 2
Verificando se Q, R e S são colineares.
Calculo os vetores QS = S - Q = (3-1,;4-2,;6-3) = (2,2,3)
Dois vetores são proporcionais (colineares) se um é múltiplo escalar do outro. Aqui, não existe tal que , porque teria de valer 2 nos dois primeiros componentes e 3 no terceiro (incompatível).
Logo, Q, R e S NÃO são colineares. A condição I é FALSA.
Passo 3
Verificando se Q, R e S definem um plano.
Teoria manda: qualquer três pontos que não são colineares formam um plano único.
Como vimos em
Passo 4
A condição II é VERDADEIRA.
Passo 5
Verificando se P, Q, R e S são coplanares (mesmo plano) ou não.
A gente calcula o produto misto dos vetores PQ = Q - P = (1-1,;2-1,;3-2) = (0,1,1), , PR = (2-1,;3-1,;4-2) = (1,2,2), e PS = (3-1,;4-1,;6-2) = (2,3,4) . Se der zero, são coplanares; se não, não são.