Converta 2 A 3_{16} para a base 2 e, em seguida, para a base 8 .

Passo 1

O que o enunciado pede: converter o número hexadecimal 2A3_{16} primeiro para a base 2 (binário) e depois para a base 8 (octal).
Informações dadas e úteis: os dígitos do número são 2, A e 3. No sistema hexadecimal, A representa o valor decimal 10. Então temos os dígitos: 2, 10 e 3.

Passo 2

Entendendo por que cada dígito hexadecimal vira 4 bits: 16 = 2^4. Isso significa que cada dígito em base 16 corresponde exatamente a um bloco de 4 bits em base 2. Logo, para transformar hex → binário é só trocar cada dígito hex por sua representação em 4 bits. Vou mostrar isso digit a dígito (sempre em 4 bits, preenchendo com zeros à esquerda se necessário):
  • 2 em decimal é 2, em binário com 4 bits é 0010.
  • A em decimal é 10, em binário com 4 bits é 1010.
  • 3 em decimal é 3, em binário com 4 bits é 0011.
Concateno os blocos (na mesma ordem):
0010\;1010\;0011
Agora, para escrever o número binário normalmente a gente elimina zeros à esquerda que não mudam o valor. Retirando os dois zeros iniciais obtemos:
1010100011_2
Então a conversão para binário fica 2A3_{16} = 1010100011_2.

Passo 3

Agora convertemos esse binário para octal. A regra prática: 8 = 2^3, então cada grupo de 3 bits corresponde a um dígito octal. Para agrupar, começamos da direita (bits menos significativos). Se a quantidade de bits não for múltipla de 3, preenchemos zeros à esquerda até completar um grupo de 3.
Temos o binário já obtido:
1010100011_2
Ele tem 10 bits. Para formar grupos de 3 precisamos de 12 bits, então acrescentamos 2 zeros à esquerda:
00\;101\;010\;001\;1 \quad\text{(reescrito corretamente como)}\quad 001\;010\;100\;011
Agora cada trio vira um dígito octal (converto cada grupo de 3 bits para decimal):
  • 001_2 = 1_{10} → dígito octal 1.
  • 010_2 = 2_{10} → dígito octal 2.
  • 100_2 = 4_{10} → dígito octal 4.
  • 011_2 = 3_{10} → dígito octal 3.
Juntando os dígitos temos:
1243_8
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): converter 2A3_{16} para decimal dá 2\cdot 16^2 + 10\cdot 16 + 3 = 512 + 160 + 3 = 675. Converter 675 para octal por divisões sucessivas por 8 também dá 1243_8. Isso confirma que está correto.

Resposta

2A3_{16} = 1010100011_2
2A3_{16} = 1243_8

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