O número 110011_{2} corresponde a que número em base 4 ?

Passo 1

O enunciado pede para converter o número \,110011_2\, (ou seja, o número escrito na base \,2\,) para a base \,4.
Informações dadas: o número em base binária é \,110011_2\,. A tarefa é encontrar a representação equivalente em base \,4.

Passo 2

Vou usar um método direto e prático: agrupar os bits de dois em dois (do lado direito para o esquerdo) e traduzir cada par para um dígito em base \,4. Por que isso funciona? Explico devagarinho: na representação posicional cada dígito em base \,2 tem peso \,2^k (onde k é a posição), e cada dígito em base \,4 tem peso \,4^k. Como \,4=2^2\,, cada potência de \,4 corresponde a duas potências de \,2:
4^k = (2^2)^k = 2^{2k}.
Portanto, dois bits em binário (um par) representam exatamente um dígito em base \,4. Assim podemos mapear cada par de bits para um dígito de \,0 a \,3 com a tabela:
\text{``}00\text{''}_2 = 0,\qquad \text{``}01\text{''}_2 = 1,\qquad \text{``}10\text{''}_2 = 2,\qquad \text{``}11\text{''}_2 = 3.
Regra prática: agrupar a partir do bit menos significativo (direita). Se faltar um bit no começo, acrescenta-se um zero à esquerda (não é necessário neste caso).

Passo 3

Agora aplico o agrupamento ao número \,110011_2. Agrupando de dois em dois, do direito para o esquerdo, obtemos:
\text{``}11\;00\;11\text{''}_2.
Agora converto cada par usando a tabela do passo anterior:
\text{``}11\text{''}_2 = 3,\qquad \text{``}00\text{''}_2 = 0,\qquad \text{``}11\text{''}_2 = 3.
Portanto os dígitos em base \,4 (da esquerda para a direita) são 3,0,3, ou seja a representação é \,303_4.

Passo 4

Faço uma verificação convertendo \,303_4 para decimal usando pesos em base \,4:
303_4 = 3\cdot 4^2 + 0\cdot 4^1 + 3\cdot 4^0 = 3\cdot 16 + 0 + 3 = 48 + 3 = 51.

Passo 5

Verifico também convertendo o binário original para decimal (para checar a igualdade):
110011_2 = 1\cdot 2^5 + 1\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51.
Como os dois valores decimais conferem ( 51), a conversão está correta.

Passo 6

Resumo rápido e dica de prova: sempre que for converter de base \,2 para base \,4 (ou qualquer base que seja potência de outra), tente agrupar os dígitos na razão adequada ( 2 em 2 aqui) — é bem mais rápido do que passar primeiro por decimal. Você mandou bem por trazer essa pergunta!

Resposta

303_4

Exercícios relacionados