Converta 753_{8} para a base 2 e depois para a base 16 .

Passo 1

O enunciado dá o número octal \,753_{8}\, e pede duas coisas: converter para a base 2 (binário) e depois para a base 16 (hexadecimal).
Informações relevantes: os dígitos do número octal são \,7, \,5 e \,3.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a base 8 é potência de 2, pois \,8 = 2^{3}. Isso significa que cada dígito octal pode ser representado exatamente por um bloco de 3 bits (3 dígitos binários). Então, para converter de octal para binário basta trocar cada dígito octal pelo seu equivalente em 3 bits. Vou listar a correspondência útil (tabela curta):
\begin{array}{c|c} \text{octal} & \text{3 bits binários} \\hline 0 & 000\\\\ 1 & 001\\\\ 2 & 010\\\\ 3 & 011\\\\ 4 & 100\\\\ 5 & 101\\\\ 6 & 110\\\\ 7 & 111 \end{array}á

Passo 3

Aplicando a tabela ao nosso número \,753_{8}\,:
  • O dígito \,7 vira \,111.
  • O dígito \,5 vira \,101.
  • O dígito \,3 vira \,011.
Concatenando os blocos (na mesma ordem dos dígitos) obtemos o binário:
111\;101\;011
Ou, sem espaços,
111101011_{2}.
Esse é o número em base 2.

Passo 4

Agora vamos para a conversão para hexadecimal. Conceito importante: a base 16 também é potência de 2, pois \,16 = 2^{4}. Portanto, cada dígito hexadecimal corresponde a 4 bits. Método prático: use o binário obtido e agrupe em blocos de 4 bits, contando da direita para a esquerda; se necessário, coloque zeros à esquerda (padding) para completar o último bloco de 4.
Nosso binário atual tem 9 bits: \,111101011. Para agrupar em 4 bits precisamos de um múltiplo de 4; o próximo múltiplo é 12, então adicionamos 3 zeros à esquerda:
000\,111\,101\,011
Agora separamos em blocos de 4:
0001\quad 1110\quad 1011

Passo 5

Tabela curta de conversão de 4 bits para hexadecimal (apenas valores usados aqui):
\begin{array}{c|c} \text{4 bits} & \text{hex} \\hline 0001 & 1\\\\ 1110 & E\\\\ 1011 & B \end{array}
Convertendo cada bloco:
  • \,0001 \mapsto 1
  • \,1110 \mapsto E (porque \,1110_2 = 8+4+2 = 14 = E_{16})
  • \,1011 \mapsto B (porque \,1011_2 = 8+0+2+1 = 11 = B_{16})
Portanto o número em hexadecimal é
1EB_{16}.

Passo 6

Verificação rápida (aula prática de checagem): converto \,753_{8} para decimal para confirmar que tudo bate.
7\cdot 8^{2} + 5\cdot 8^{1} + 3\cdot 8^{0} = 7\cdot64 + 5\cdot8 + 3 = 448 + 40 + 3 = 491.
Agora confiro que \,111101011_{2} é \,491 em decimal:
1\cdot2^{8}+1\cdot2^{7}+1\cdot2^{6}+1\cdot2^{5}+0\cdot2^{4}+1\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}
=256+128+64+32+0+8+0+2+1 = 491.
E em hexadecimal \,1EB_{16} = 1\cdot16^{2} + 14\cdot16 + 11 = 256 + 224 + 11 = 491. Tudo confere.

Resposta

\,753_{8} = 111101011_{2}
\,753_{8} = 1EB_{16}

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