De forma análoga ao que foi feito nos exemplos 10 , 11 e 12 converta o número 0,1875 da base 10 para a base 3 .
Passo 1
O enunciado pede: converter o número 0,1875 (base 10) para a base 3.
Informações dadas:
O número a converter é 0,1875 em base 10.
O que vamos encontrar:
A representação de 0,1875_{10} na base 3, escrita de forma adequada (com eventual repetição periódica).
Passo 2
Primeiro simplificar o número decimal como uma fração racional: isso normalmente facilita a conversão e permite identificar repetição periódica com clareza.
Converter 0,1875 em fração:
0,1875=\frac{1875}{10000}.
Vamos simplificar essa fração passo a passo. Dividindo numerador e denominador por 125:
Breve explicação do porquê isso ajuda: converter uma fração \dfrac{p}{q} para base b é equivalente a gerar a expansão na base b do número, e a expansão será finita se e somente se q tem apenas fatores primos que dividem b. Aqui q=16=2^4 e a base b=3 tem fator primo 3, diferente de 2, então a expansão em base 3 será periódica (infinita repetindo um bloco).
Passo 3
Agora aplicamos o algoritmo padrão para converter a parte fracionária: multiplicar a fração pela base 3; a parte inteira do produto é o primeiro dígito após a vírgula na base 3; repete-se com a parte fracionária resultante.
Começamos com f_0=\dfrac{3}{16}.
Calcular 3\cdot f_0:
3\cdot\frac{3}{16}=\frac{9}{16}.
A parte inteira é 0 (pois \dfrac{9}{16}<1). Então o primeiro dígito após a vírgula em base 3 é 0. A nova fração é f_1=\dfrac{9}{16}.
Calcular 3\cdot f_1:
3\cdot\frac{9}{16}=\frac{27}{16}=1+\frac{11}{16}.
A parte inteira é 1. Então o segundo dígito é 1. A nova fração é f_2=\dfrac{11}{16}.
Calcular 3\cdot f_2:
3\cdot\frac{11}{16}=\frac{33}{16}=2+\frac{1}{16}.
A parte inteira é 2. Então o terceiro dígito é 2. A nova fração é f_3=\dfrac{1}{16}.
Calcular 3\cdot f_3:
3\cdot\frac{1}{16}=\frac{3}{16}.
A parte inteira é 0. Então o quarto dígito é 0. A nova fração é f_4=\dfrac{3}{16}.
Observe que f_4=f_0. Isso significa que a sequência de frações (e, portanto, a sequência de dígitos) vai se repetir a partir daqui. Assim obtemos os dígitos na base 3 (após a vírgula) como:
0,\;1,\;2,\;0,\;1,\;2,\;0,\ldots
Passo 4
Identificamos o bloco periódico: os quatro primeiros dígitos formam o bloco repetido 0,1,2,0. Ou seja, a expansão em base 3 é periódica com período 4 e bloco 0120.
Escrevendo a representação:
0,1875_{10} = (0,\overline{0120})_3.
(explicação de notação: a barra sobre os dígitos indica que o bloco 0120 se repete infinitamente).
Passo 5
Verificação rápida por fórmula de fração periódica: se a expansão em base 3 for 0.\overline{0120}_3 com bloco de comprimento k=4, transformando o bloco para inteiro em base 3 temos