Converta da base decimal para as bases 2 e 3 .
j. 7,25
Passo 1
O enunciado pede: converter o número decimal 7,25 para as bases 2 e 3.
Informações fornecidas (retiradas do enunciado):
Número em base decimal: 7,25_{10}.
Parte inteira: 7.
Parte fracionária: 0,25.
As duas respostas solicitadas são: representação de 7,25_{10} em base 2 e em base 3.
Passo 2
Vou explicar os métodos que vou usar (bem devagar, como amigo explicando passo a passo):
Conversão da parte inteira para uma base b: dividir sucessivamente a parte inteira por b, anotar os restos (remainders). Os dígitos da representação em base b são esses restos lidos de baixo para cima (último resto é o dígito mais significativo).
Conversão da parte fracionária para base b: multiplicar a parte fracionária por b. A parte inteira do produto é o próximo dígito fracionário; repetir com a nova parte fracionária (a parte decimal do produto) até que a parte fracionária seja zero (termina) ou comece a repetir (gera dízima repetida).
Vou aplicar isso primeiro para b=2 e depois para b=3.
Passo 3
Converter a parte inteira 7 para base 2 (divisões sucessivas):
\begin{array}{rcl} 7 \div 2 &=& 3 \text{ com resto } 1,\\[4pt] 3 \div 2 &=& 1 \text{ com resto } 1,\\[4pt] 1 \div 2 &=& 0 \text{ com resto } 1. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos os dígitos da parte inteira em base 2: \;111. Logo a parte inteira é \;111_2.]
Passo 4
Converter a parte fracionária 0,25 para base 2 (multiplicações por 2):
Após a segunda multiplicação a parte fracionária ficou 0, então paramos. Os dígitos fracionários obtidos, na ordem, são \;01. Portanto a parte fracionária em base 2 é \;01_2.
Após a segunda multiplicação a parte fracionária voltou a ser 0,25. Ou seja, o processo entra em ciclo: 0,25\to0,75\to0,25\to\cdots. Isso gera uma dízima periódica com o bloco de dígitos fracionários 02 repetindo indefinidamente. Portanto a parte fracionária em base 3 é \;\overline{02}_3 (onde a barra indica repetição do bloco 02).]
Passo 8
Verificação rápida para garantir que a dízima representa realmente 0,25: a sequência fracionária repetida 0,2,0,2,\dots em base 3 vale
\sum_{k=1}^{\infty} d_k 3^{-k}
com d_1=0,d_2=2,d_3=0,d_4=2,\dots. Agrupando os termos com 2 obtém-se