Converta da base decimal para as bases 2 e 3 .
j. 7,25

Passo 1

O enunciado pede: converter o número decimal 7,25 para as bases 2 e 3.
Informações fornecidas (retiradas do enunciado):
  • Número em base decimal: 7,25_{10}.
  • Parte inteira: 7.
  • Parte fracionária: 0,25.
    As duas respostas solicitadas são: representação de 7,25_{10} em base 2 e em base 3.

Passo 2

Vou explicar os métodos que vou usar (bem devagar, como amigo explicando passo a passo):
  • Conversão da parte inteira para uma base b: dividir sucessivamente a parte inteira por b, anotar os restos (remainders). Os dígitos da representação em base b são esses restos lidos de baixo para cima (último resto é o dígito mais significativo).
  • Conversão da parte fracionária para base b: multiplicar a parte fracionária por b. A parte inteira do produto é o próximo dígito fracionário; repetir com a nova parte fracionária (a parte decimal do produto) até que a parte fracionária seja zero (termina) ou comece a repetir (gera dízima repetida).
    Vou aplicar isso primeiro para b=2 e depois para b=3.

Passo 3

Converter a parte inteira 7 para base 2 (divisões sucessivas):
\begin{array}{rcl} 7 \div 2 &=& 3 \text{ com resto } 1,\\[4pt] 3 \div 2 &=& 1 \text{ com resto } 1,\\[4pt] 1 \div 2 &=& 0 \text{ com resto } 1. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos os dígitos da parte inteira em base 2: \;111. Logo a parte inteira é \;111_2.]

Passo 4

Converter a parte fracionária 0,25 para base 2 (multiplicações por 2):
\begin{array}{rcl} 0,25\times 2 &=& 0,50 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }0,\\[4pt] 0,50\times 2 &=& 1,00 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }1. \end{array}íí
Após a segunda multiplicação a parte fracionária ficou 0, então paramos. Os dígitos fracionários obtidos, na ordem, são \;01. Portanto a parte fracionária em base 2 é \;01_2.
Para checar (é sempre bom confirmar):
(111,01)_2 = 1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2} = 4+2+1+0+\tfrac{1}{4}=7+\tfrac{1}{4}=7,25.
Tudo confere.]

Passo 5

Combinar parte inteira e fracionária em base 2: a representação completa é
(111,01)_2.

Passo 6

Converter a parte inteira 7 para base 3 (divisões sucessivas):
\begin{array}{rcl} 7 \div 3 &=& 2 \text{ com resto } 1,\\[4pt] 2 \div 3 &=& 0 \text{ com resto } 2. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos \;21. Logo a parte inteira é \;21_3.]

Passo 7

Converter a parte fracionária 0,25 para base 3 (multiplicações por 3):
\begin{array}{rcl} 0,25\times 3 &=& 0,75 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }0,\\[4pt] 0,75\times 3 &=& 2,25 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }2. \end{array}íí
Após a segunda multiplicação a parte fracionária voltou a ser 0,25. Ou seja, o processo entra em ciclo: 0,25\to0,75\to0,25\to\cdots. Isso gera uma dízima periódica com o bloco de dígitos fracionários 02 repetindo indefinidamente. Portanto a parte fracionária em base 3 é \;\overline{02}_3 (onde a barra indica repetição do bloco 02).]

Passo 8

Verificação rápida para garantir que a dízima representa realmente 0,25: a sequência fracionária repetida 0,2,0,2,\dots em base 3 vale
\sum_{k=1}^{\infty} d_k 3^{-k}
com d_1=0,d_2=2,d_3=0,d_4=2,\dots. Agrupando os termos com 2 obtém-se
2\left(\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{4}}+\frac{1}{3^{6}}+\cdots\right)=2\cdot\frac{1/9}{1-1/9}=2\cdot\frac{1/9}{8/9}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0,25,
confirmando que \;0,\overline{02}_3 é equivalente a 0,25_{10}.

Passo 9

Combinar parte inteira e fracionária em base 3: a representação completa é
(21,\overline{02})_3.

Resposta

7,25_{10} = (111,01)_2
7,25_{10} = (21,\overline{02})_3

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