Converta da base decimal para as bases 2 e 3 .
l. 14,1875

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Foi dado o número decimal 14,1875. O pedido é convertê-lo para as bases 2 e 3. Vou separar o número em parte inteira e parte fracionária:
  • parte inteira: 14,
  • parte fracionária: 0,1875.
    A conversão será feita separadamente para a parte inteira (divisões sucessivas) e para a parte fracionária (multiplicações sucessivas). Nada será assumido — vou explicar cada passo e por que funciona.

Passo 2

Como converter a parte inteira para outra base (método e motivo).
Método: dividir sucessivamente a parte inteira pelo novo base e anotar os restos; os dígitos da representação na nova base são os restos lidos de baixo para cima (último resto é o dígito mais significativo). Motivo rápido: cada divisão por b expressa o número como quociente vezes b mais resto, isto é, N = b\cdot Q + r; repetindo isso decompõe N em potências de b.
Agora aplico para a base 2 com a parte inteira 14:
\begin{array}{l} 14 \div 2 = 7 \text{ com resto } 0,\\[4pt] 7 \div 2 = 3 \text{ com resto } 1,\\[4pt] 3 \div 2 = 1 \text{ com resto } 1,\\[4pt] 1 \div 2 = 0 \text{ com resto } 1. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos 1110. Logo a parte inteira em base 2 é 1110_2.]

Passo 3

Agora a parte inteira 14 em base 3, mesmo método:
\begin{array}{l} 14 \div 3 = 4 \text{ com resto } 2,\\[4pt] 4 \div 3 = 1 \text{ com resto } 1,\\[4pt] 1 \div 3 = 0 \text{ com resto } 1. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos 112. Logo a parte inteira em base 3 é 112_3.]

Passo 4

Como converter a parte fracionária para outra base (método e motivo).
Método: multiplicar a parte fracionária pelo novo base; a parte inteira do resultado é o primeiro dígito após a vírgula na nova base; repetir o processo com a nova parte fracionária (o resto fractional). Repetir até que a parte fracionária vire zero (representação finita) ou até identificar um ciclo (representação periódica). Motivo rápido: se x é a fração, b\cdot x = d_1 + r_1 com d_1 inteiro entre 0 e b-1; então d_1 é o primeiro dígito e a sequência segue para r_1.
Aplico isso a 0,1875 para base 2:
\begin{array}{l} 0,1875 \times 2 = 0,375 \Rightarrow \text{dígito }0,\\[4pt] 0,375 \times 2 = 0,75 \Rightarrow \text{dígito }0,\\[4pt] 0,75 \times 2 = 1,5 \Rightarrow \text{dígito }1 \text{ e resto }0,5,\\[4pt] 0,5 \times 2 = 1,0 \Rightarrow \text{dígito }1 \text{ e resto }0. \end{array}íííí
Como o resto chegou a 0, o processo termina e os dígitos fracionários são, nessa ordem, 0,0,1,1. Portanto a parte fracionária em base 2 é ,0011_2. Juntando com a parte inteira: 14,1875_{10}=1110,0011_2.
Verificação rápida (para fixar a ideia): a parte fracionária ,0011_2 vale
0\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}+1\cdot 2^{-4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}=0,1875,
confirmando que está certo.]

Passo 5

Converter a parte fracionária 0,1875 para base 3, usando o mesmo método:
\begin{array}{l} 0,1875 \times 3 = 0,5625 \Rightarrow \text{dígito }0,\\[4pt] 0,5625 \times 3 = 1,6875 \Rightarrow \text{dígito }1 \text{ e resto }0,6875,\\[4pt] 0,6875 \times 3 = 2,0625 \Rightarrow \text{dígito }2 \text{ e resto }0,0625,\\[4pt] 0,0625 \times 3 = 0,1875 \Rightarrow \text{dígito }0 \text{ e resto }0,1875. \end{array}íííí
Note que após quatro multiplicações a parte fracionária voltou exatamente a 0,1875, ou seja, entrou em ciclo. Os dígitos gerados no ciclo são 0,1,2,0 e eles se repetem indefinidamente. Portanto a parte fracionária em base 3 é periódica com período 0120. Escreve-se isso como \overline{0120}.
Assim, juntando com a parte inteira: 14,1875_{10}=112,\overline{0120}_3.]

Passo 6

Verificação do período em base 3 (para entender por que a repetição representa exatamente 0,1875).
A soma do bloco 0120 (na primeira ocorrência) vale
0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+0\cdot 3^{-4}=\frac{1}{9}+\frac{2}{27}=\frac{5}{27}.
Como o bloco se repete a cada 4 dígitos, a fração total é a soma da progressão geométrica
\frac{5}{27}+\frac{5}{27}\cdot\frac{1}{3^4}+\frac{5}{27}\cdot\frac{1}{3^{8}}+\cdots =\frac{\tfrac{5}{27}}{1-\tfrac{1}{3^4}} =\frac{5/27}{1-1/81} =\frac{5/27}{80/81} =\frac{5}{27}\cdot\frac{81}{80} =\frac{15}{80}=\frac{3}{16}=0,1875,
confirmando que a repetição \overline{0120}_3 corresponde precisamente a 0,1875.

Resposta

14,1875_{10}=1110,0011_2
14,1875_{10}=112,\overline{0120}_3

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