Utilize o Método de Newton para encontrar a raiz de f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1=0, no intervalo [-3,-2], com erro relativo menor que 10^{-3}.

Passo 1

O que o problema pede e o que já temos.
  • Pede: usar o Método de Newton para encontrar a raiz de f(x)=x^{3}+3x^{2}-1=0 dentro do intervalo [-3,-2] com erro relativo menor que 10^{-3}.
  • Informações dadas:
    • A função é f(x)=x^{3}+3x^{2}-1.
    • Intervalo onde a raiz está: [-3,-2].
    • Critério de parada: erro relativo <10^{-3}.

Passo 2

Verificação rápida de existência de raiz no intervalo e escolha da aproximação inicial.
  • Calcular f nas extremidades para garantir que há mudança de sinal (teorema do valor intermediário).
    • f(-3)=(-3)^{3}+3(-3)^{2}-1=-27+27-1=-1.
    • f(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}-1=-8+12-1=3.
  • Como f(-3)=-1 e f(-2)=3 têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em [-3,-2].
  • Escolho a aproximação inicial \,x_{0}=-2{,}5 (ponto médio do intervalo). É um palpite razoável e simples para iniciar o Método de Newton.

Passo 3

Formulação do Método de Newton e significado das variáveis.
  • Regra de iteração do Método de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Interpretação:
    • x_{n} é a aproximação atual da raiz.
    • f(x_{n}) é o valor da função nessa aproximação.
    • f'(x_{n}) é a derivada da função nessa aproximação.
    • A fração \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} é a correção (quanto se deve deslocar x_{n} para ficar melhor).
  • Para nossa função:
f'(x)=3x^{2}+6x.

Passo 4

Primeira iteração: calcular x_{1} a partir de x_{0}=-2{,}5.
  • Calcular f(x_{0}):
f(-2{,}5)=(-2{,}5)^{3}+3(-2{,}5)^{2}-1=-15{,}625+18{,}75-1=2{,}125.
  • Calcular f'(x_{0}):
f'(-2{,}5)=3(-2{,}5)^{2}+6(-2{,}5)=18{,}75-15=3{,}75.
  • Aplicar Newton:
x_{1}=-2{,}5-\frac{2{,}125}{3{,}75}=-2{,}5-\frac{17/8}{15/4}=-2{,}5-\frac{17}{30}=-\frac{46}{15}\approx-3{,}066666\ldots
  • Resultado: x_{1}\approx-3{,}066666.

Passo 5

Segunda iteração: calcular x_{2} a partir de x_{1}.
  • Valores (aproximações decimais com boa precisão):
    • x_{1}\approx-3{,}0666666667.
    • Calcular f(x_{1}):
    f(x_{1})\approx-1{,}62696296296.
    • Calcular f'(x_{1}):
    f'(x_{1})\approx9{,}81333333333.
  • Aplicar Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx-3{,}0666666667-\frac{-1{,}62696296296}{9{,}81333333333}\approx-2{,}90084422683.
  • Resultado: x_{2}\approx-2{,}90084422683.

Passo 6

Terceira iteração: calcular x_{3} a partir de x_{2}.
  • Valores:
    • x_{2}\approx-2{,}90084422683.
    • Calcular f(x_{2}) (avaliando com as aproximações):
    f(x_{2})\approx-0{,}1556108769.
    • Calcular f'(x_{2}):
    f'(x_{2})\approx7{,}83962632213.
  • Aplicar Newton:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx-2{,}90084422683-\frac{-0{,}1556108769}{7{,}83962632213}\approx-2{,}880985\ldots
  • Resultado: x_{3}\approx-2{,}880985 (mantendo várias casas para o controle do erro).

Passo 7

Quarta iteração e verificação do erro relativo: calcular x_{4} a partir de x_{3} e checar o critério.
  • Valores:
    • x_{3}\approx-2{,}880985.
    • Calcular f(x_{3}):
    f(x_{3})\approx-0{,}0121563.
    • Calcular f'(x_{3}):
    f'(x_{3})\approx7{,}6143137.
  • Aplicar Newton:
x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx-2{,}880985+\frac{0{,}0121563}{7{,}6143137}\approx-2{,}87938822.
  • Diferença entre iterações:
|x_{4}-x_{3}|\approx0{,}00159678.
  • Erro relativo (usando a definição |x_{n+1}-x_{n}|/|x_{n+1}|):
\frac{|x_{4}-x_{3}|}{|x_{4}|}\approx\frac{0{,}00159678}{2{,}87938822}\approx0{,}0005547.
  • Como 0{,}0005547<10^{-3}, o critério de erro relativo pedido foi satisfeito e podemos parar.

Passo 8

Conclusão e interpretação final.
  • O Método de Newton, com x_{0}=-2{,}5, convergiu rapidamente e após quatro iterações obteve-se uma aproximação cujo erro relativo entre iterações é menor que 10^{-3}.
  • A raiz aproximada obtida é x\approx-2{,}87938822.

Resposta

-2,87938822

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