Utilize o Método de Newton para encontrar a raiz de
, no intervalo
, com erro relativo menor que
.
Passo 1
O que o problema pede e o que já temos.
- Pede: usar o Método de Newton para encontrar a raiz de
dentro do intervalo com erro relativo menor que . - Informações dadas:
- A função é
. - Intervalo onde a raiz está:
. - Critério de parada: erro relativo
.
- A função é
Passo 2
Verificação rápida de existência de raiz no intervalo e escolha da aproximação inicial.
- Calcular
nas extremidades para garantir que há mudança de sinal (teorema do valor intermediário). -
. -
.
-
- Como
e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em . - Escolho a aproximação inicial
(ponto médio do intervalo). É um palpite razoável e simples para iniciar o Método de Newton.
Passo 3
Formulação do Método de Newton e significado das variáveis.
- Regra de iteração do Método de Newton:
- Interpretação:
-
é a aproximação atual da raiz. -
é o valor da função nessa aproximação. -
é a derivada da função nessa aproximação. - A fração
é a correção (quanto se deve deslocar para ficar melhor).
-
- Para nossa função:
Passo 4
Primeira iteração: calcular
a partir de
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Aplicar Newton:
- Resultado:
.
Passo 5
Segunda iteração: calcular
a partir de
.
- Valores (aproximações decimais com boa precisão):
-
. - Calcular
:
- Calcular
:
-
- Aplicar Newton:
- Resultado:
.
Passo 6
Terceira iteração: calcular
a partir de
.
- Valores:
-
. - Calcular
(avaliando com as aproximações):
- Calcular
:
-
- Aplicar Newton:
- Resultado:
(mantendo várias casas para o controle do erro).
Passo 7
Quarta iteração e verificação do erro relativo: calcular
a partir de
e checar o critério.
- Valores:
-
. - Calcular
:
- Calcular
:
-
- Aplicar Newton:
- Diferença entre iterações:
- Erro relativo (usando a definição
):
- Como
, o critério de erro relativo pedido foi satisfeito e podemos parar.
Passo 8
Conclusão e interpretação final.
- O Método de Newton, com
, convergiu rapidamente e após quatro iterações obteve-se uma aproximação cujo erro relativo entre iterações é menor que . - A raiz aproximada obtida é
.