Converta da base decimal para as bases 2 e 3 .
k. 234,02
Passo 1
O enunciado pede: converter o número \,234{,}02_{10} (base decimal) para as bases 2 e 3.
Informações dadas:
O número a converter é \,234{,}02_{10}.
Devem ser encontradas as representações em base 2 e em base 3.
Passo 2
Como vamos proceder (ideia geral — sem resolver ainda):
Para a parte inteira usamos divisões sucessivas pela base. A cada divisão guarda-se o resto; os dígitos da nova base aparecem dos restos lidos de baixo para cima (último resto é o dígito mais significativo).
Para a parte fracionária usamos multiplicações sucessivas pelo valor da base. A cada multiplicação toma-se a parte inteira do produto como o próximo dígito; a nova fração é a parte fracionária desse produto. Como a parte fracionária é racional (\,0{,}02 = \tfrac{1}{50}), a sequência de restos/numeradores é finita em número de possibilidades, então a expansão será periódica (vai eventualmente repetir). Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Converter a parte inteira \,234_{10} para a base 2 (divisões por 2). Faço divisões sucessivas e anoto restos:
Converter a parte fracionária \,0{,}02_{10} para base 2. Vou usar o método do numerador (mais exato para frações racionais): escrevo \,0{,}02_{10}=\dfrac{1}{50}. Começo com o numerador n_0=1 e denominador 50. Em cada passo multiplico o numerador por 2; o quociente inteiro de 2n_k por 50 é o próximo dígito binário e o novo numerador é (2n_k)\bmod 50. Faço as iterações e anoto dígitos e novos numeradores:
Repare que n_{22}=4 já apareceu antes (n_2=4), portanto a sequência de numeradores e, consequentemente, a sequência de dígitos repete a partir desse ponto. Assim a expansão em base 2 é periódica. Os dígitos binários obtidos em ordem foram:
\text{frac}_2 = 0.\,b_1b_2b_3\ldots = 0.\underbrace{0\,0}_{b_1b_2}\underbrace{0\,0\,0\,1\,0\,1\,0\,0\,0\,1\,1\,1\,1\,0\,1\,0\,1\,1\,1\,0}_{\text{período de 20 bits}}\ldots
Ou seja, há uma pre-periodicidade de dois zeros iniciais e depois um bloco de 20 bits que se repete.]
Passo 5
Juntando parte inteira (do Passo 3) e parte fracionária (do Passo 4), a representação em base 2 fica:
Converter a parte fracionária \,0{,}02_{10}=\tfrac{1}{50} para base 3. Uso novamente o método do numerador com multiplicação por 3. Começo com n_0=1, denominador 50, e itero n_{k+1}=(3n_k)\bmod 50 enquanto o dígito é \lfloor 3n_k/50\rfloor.
Aqui n_{21}=3 já apareceu antes (n_1=3), portanto a sequência repete a partir de n_1. Logo a expansão em base 3 é periódica; os dígitos ternários obtidos foram:
\text{frac}_3 = 0.\,d_1d_2d_3\ldots = 0.\underbrace{0}_{d_1}\overline{0\,0\,1\,1\,2\,1\,2\,0\,1\,2\,2\,2\,1\,1\,0\,1\,0\,2\,1\,0}_{\text{período de 20 dígitos}} \ldotsíí
Ou seja, existe uma pre-periodicidade de um zero após a vírgula e um bloco de 20 dígitos ternários que se repete.]
Passo 8
Juntando parte inteira (do Passo 6) e parte fracionária (do Passo 7), a representação em base 3 fica:
(Interpretação: a parte fracionária tem um zero inicial após a vírgula e depois repete o bloco 00112120122211010210.)
Passo 9
Comentário didático-final e motivação rápida:
Por que temos repetição? Porque a parte fracionária é racional (\tfrac{1}{50}). Ao multiplicar pelo inteiro da base (2 ou 3) os possíveis numeradores depois de remover a parte inteira são apenas 0,1,\dots,49. Logo, por princípio da casa dos pombos, algum numerador se repete e a sequência de dígitos entra em ciclo — por isso as expansões são periódicas.
Em uma prova, proceda sempre: (a) transforme a parte inteira por divisões sucessivas; (b) transforme a parte fracionária por multiplicações sucessivas (ou pelo método do numerador como usei); (c) identifique repetição pelos numeradores que já apareceram.