Converta da base decimal para as bases 2 e 3 .
k. 234,02

Passo 1

O enunciado pede: converter o número \,234{,}02_{10} (base decimal) para as bases 2 e 3.
Informações dadas:
  • O número a converter é \,234{,}02_{10}.
  • Devem ser encontradas as representações em base 2 e em base 3.

Passo 2

Como vamos proceder (ideia geral — sem resolver ainda):
  • Para a parte inteira usamos divisões sucessivas pela base. A cada divisão guarda-se o resto; os dígitos da nova base aparecem dos restos lidos de baixo para cima (último resto é o dígito mais significativo).
  • Para a parte fracionária usamos multiplicações sucessivas pelo valor da base. A cada multiplicação toma-se a parte inteira do produto como o próximo dígito; a nova fração é a parte fracionária desse produto. Como a parte fracionária é racional ( \,0{,}02 = \tfrac{1}{50}), a sequência de restos/numeradores é finita em número de possibilidades, então a expansão será periódica (vai eventualmente repetir). Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Converter a parte inteira \,234_{10} para a base 2 (divisões por 2). Faço divisões sucessivas e anoto restos:
\begin{array}{l} 234 \div 2 = 117 \quad\text{resto }0,\\[3pt] 117 \div 2 = 58 \quad\text{resto }1,\\[3pt] 58 \div 2 = 29 \quad\text{resto }0,\\[3pt] 29 \div 2 = 14 \quad\text{resto }1,\\[3pt] 14 \div 2 = 7 \quad\text{resto }0,\\[3pt] 7 \div 2 = 3 \quad\text{resto }1,\\[3pt] 3 \div 2 = 1 \quad\text{resto }1,\\[3pt] 1 \div 2 = 0 \quad\text{resto }1. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos os dígitos binários da parte inteira:
234_{10} = 11101010_{2}.
(Verificação rápida: 1\cdot 2^{7}+1\cdot 2^{6}+1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=128+64+32+8+2=234.)]

Passo 4

Converter a parte fracionária \,0{,}02_{10} para base 2. Vou usar o método do numerador (mais exato para frações racionais): escrevo \,0{,}02_{10}=\dfrac{1}{50}. Começo com o numerador n_0=1 e denominador 50. Em cada passo multiplico o numerador por 2; o quociente inteiro de 2n_k por 50 é o próximo dígito binário e o novo numerador é (2n_k)\bmod 50. Faço as iterações e anoto dígitos e novos numeradores:
\begin{array}{l} 2\cdot 1 = 2 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_1=2,\\[3pt] 2\cdot 2 = 4 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_2=4,\\[3pt] 2\cdot 4 = 8 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_3=8,\\[3pt] 2\cdot 8 =16 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_4=16,\\[3pt] 2\cdot 16=32 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_5=32,\\[3pt] 2\cdot 32=64 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_6=14,\\[3pt] 2\cdot 14=28 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_7=28,\\[3pt] 2\cdot 28=56 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_8=6,\\[3pt] 2\cdot 6 =12 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_9=12,\\[3pt] 2\cdot 12=24 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_{10}=24,\\[3pt] 2\cdot 24=48 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_{11}=48,\\[3pt] 2\cdot 48=96 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{12}=46,\\[3pt] 2\cdot 46=92 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{13}=42,\\[3pt] 2\cdot 42=84 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{14}=34,\\[3pt] 2\cdot 34=68 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{15}=18,\\[3pt] 2\cdot 18=36 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_{16}=36,\\[3pt] 2\cdot 36=72 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{17}=22,\\[3pt] 2\cdot 22=44 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_{18}=44,\\[3pt] 2\cdot 44=88 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{19}=38,\\[3pt] 2\cdot 38=76 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{20}=26,\\[3pt] 2\cdot 26=52 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{21}=2,\\[3pt] 2\cdot 2 =4 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_{22}=4. \end{array}íííííííííííííííííííííí
Repare que n_{22}=4 já apareceu antes ( n_2=4), portanto a sequência de numeradores e, consequentemente, a sequência de dígitos repete a partir desse ponto. Assim a expansão em base 2 é periódica. Os dígitos binários obtidos em ordem foram:
\text{frac}_2 = 0.\,b_1b_2b_3\ldots = 0.\underbrace{0\,0}_{b_1b_2}\underbrace{0\,0\,0\,1\,0\,1\,0\,0\,0\,1\,1\,1\,1\,0\,1\,0\,1\,1\,1\,0}_{\text{período de 20 bits}}\ldotsí
Ou seja, há uma pre-periodicidade de dois zeros iniciais e depois um bloco de 20 bits que se repete.]

Passo 5

Juntando parte inteira (do Passo 3) e parte fracionária (do Passo 4), a representação em base 2 fica:
\;234{,}02_{10} = 11101010{,}00\overline{00010100011110101110}_{2}.
(Interpretação: a parte fracionária tem dois zeros iniciais após a vírgula e a seguir repete o bloco 00010100011110101110.)

Passo 6

Agora converto a parte inteira \,234_{10} para a base 3 (divisões por 3). Faço divisões sucessivas e anoto restos:
\begin{array}{l} 234 \div 3 = 78 \quad\text{resto }0,\\[3pt] 78 \div 3 = 26 \quad\text{resto }0,\\[3pt] 26 \div 3 = 8 \quad\text{resto }2,\\[3pt] 8 \div 3 = 2 \quad\text{resto }2,\\[3pt] 2 \div 3 = 0 \quad\text{resto }2. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima:
234_{10} = 22200_{3}.
(Verificação: 2\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{2}+0\cdot3^{1}+0\cdot3^{0}=2\cdot 81+2\cdot27+2\cdot9=162+54+18=234.)]

Passo 7

Converter a parte fracionária \,0{,}02_{10}=\tfrac{1}{50} para base 3. Uso novamente o método do numerador com multiplicação por 3. Começo com n_0=1, denominador 50, e itero n_{k+1}=(3n_k)\bmod 50 enquanto o dígito é \lfloor 3n_k/50\rfloor.
\begin{array}{l} 3\cdot 1 = 3 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_1=3,\\[3pt] 3\cdot 3 = 9 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_2=9,\\[3pt] 3\cdot 9 =27 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_3=27,\\[3pt] 3\cdot 27=81 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_4=31,\\[3pt] 3\cdot 31=93 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_5=43,\\[3pt] 3\cdot 43=129\Rightarrow \text{dígito }2,\\ n_6=29,\\[3pt] 3\cdot 29=87 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_7=37,\\[3pt] 3\cdot 37=111\Rightarrow \text{dígito }2,\\ n_8=11,\\[3pt] 3\cdot 11=33 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_9=33,\\[3pt] 3\cdot 33=99 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{10}=49,\\[3pt] 3\cdot 49=147\Rightarrow \text{dígito }2,\\ n_{11}=47,\\[3pt] 3\cdot 47=141\Rightarrow \text{dígito }2,\\ n_{12}=41,\\[3pt] 3\cdot 41=123\Rightarrow \text{dígito }2,\\ n_{13}=23,\\[3pt] 3\cdot 23=69 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{14}=19,\\[3pt] 3\cdot 19=57 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{15}=7,\\[3pt] 3\cdot 7 =21 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_{16}=21,\\[3pt] 3\cdot 21=63 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{17}=13,\\[3pt] 3\cdot 13=39 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_{18}=39,\\[3pt] 3\cdot 39=117\Rightarrow \text{dígito }2,\\ n_{19}=17,\\[3pt] 3\cdot 17=51 \Rightarrow \text{dígito }1,\\ n_{20}=1,\\[3pt] 3\cdot 1 =3 \Rightarrow \text{dígito }0,\\ n_{21}=3. \end{array}ííííííííííííííííííííí
Aqui n_{21}=3 já apareceu antes ( n_1=3), portanto a sequência repete a partir de n_1. Logo a expansão em base 3 é periódica; os dígitos ternários obtidos foram:
\text{frac}_3 = 0.\,d_1d_2d_3\ldots = 0.\underbrace{0}_{d_1}\overline{0\,0\,1\,1\,2\,1\,2\,0\,1\,2\,2\,2\,1\,1\,0\,1\,0\,2\,1\,0}_{\text{período de 20 dígitos}} \ldotsíí
Ou seja, existe uma pre-periodicidade de um zero após a vírgula e um bloco de 20 dígitos ternários que se repete.]

Passo 8

Juntando parte inteira (do Passo 6) e parte fracionária (do Passo 7), a representação em base 3 fica:
\;234{,}02_{10} = 22200{,}0\overline{00112120122211010210}_{3}.
(Interpretação: a parte fracionária tem um zero inicial após a vírgula e depois repete o bloco 00112120122211010210.)

Passo 9

Comentário didático-final e motivação rápida:
  • Por que temos repetição? Porque a parte fracionária é racional ( \tfrac{1}{50}). Ao multiplicar pelo inteiro da base (2 ou 3) os possíveis numeradores depois de remover a parte inteira são apenas 0,1,\dots,49. Logo, por princípio da casa dos pombos, algum numerador se repete e a sequência de dígitos entra em ciclo — por isso as expansões são periódicas.
  • Em uma prova, proceda sempre: (a) transforme a parte inteira por divisões sucessivas; (b) transforme a parte fracionária por multiplicações sucessivas (ou pelo método do numerador como usei); (c) identifique repetição pelos numeradores que já apareceram.

Resposta

\,234{,}02_{10} = 11101010{,}00\overline{00010100011110101110}_{2}
\,234{,}02_{10} = 22200{,}0\overline{00112120122211010210}_{3}

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