Converta os números decimais abaixo para base 2 . No caso de dízimas, indique o padrão de repetição.
(i) 3,625

Passo 1

O que o enunciado pede: converter o número decimal 3{,}625 para base 2.
Informações dadas: o número decimal é \,3{,}625_{10}. Se a representação em base 2 for uma dízima periódica, indicar o padrão de repetição.

Passo 2

Vou explicar o método que vou usar (é o mais direto e prático para provas):
  • Separar o número em parte inteira e parte fracionária. Aqui a parte inteira é \,3 e a parte fracionária é \,0{,}625.
  • Converter a parte inteira por divisões sucessivas por 2: cada divisão fornece um resto 0 ou 1; esses restos, lidos de baixo para cima, são os bits da parte inteira em base 2.
  • Converter a parte fracionária por multiplicações sucessivas por 2: em cada multiplicação, a parte inteira do produto (ou seja, 0 ou 1) é o próximo bit da fração binária; repetir até a fração virar 0 (termina) ou entrar em repetição (dízima periódica).
    Breve justificativa teórica (sem mistério): qualquer número pode ser escrito como soma de potências de 2. Os bits indicam se cada potência está presente ( 1) ou ausente ( 0):
\text{parte inteira} = \sum_{k=0}^{n} b_k 2^k,\qquad \text{parte fracionária} = \sum_{k=1}^{m} b_{-k} 2^{-k},á
com b_i\in\{0,1\}.

Passo 3

Converter a parte inteira \,3.
Fazer divisões por 2 guardando quociente e resto:
3 \div 2 = 1 \text{ com resto } 1,
1 \div 2 = 0 \text{ com resto } 1.
Lendo os restos de baixo para cima obtemos os bits da parte inteira: \,3_{10} = 11_2. Em notação decimal-comum: a parte inteira em binário é \,11.

Passo 4

Converter a parte fracionária \,0{,}625 por multiplicações por 2:
0{,}625 \times 2 = 1{,}25 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}=1,\\ \text{nova fracção}=0{,}25,çã
0{,}25 \times 2 = 0{,}5 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}=0,\\ \text{nova fracção}=0{,}5,çã
0{,}5 \times 2 = 1{,}0 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}=1,\\ \text{nova fracção}=0{,}0 \\ (\text{termina}).çã
Os bits coletados, na ordem, formam a parte fracionária em binário: \,0{,}625_{10} = 0{,}101_2.

Passo 5

Juntando parte inteira e fracionária:
3{,}625_{10} = 11{,}101_2.
Observação: a expansão terminou com fração zero, então a representação em base 2 é finita — não há dízima periódica.

Passo 6

Verificação rápida (converter de volta para decimal para checar): calcular o valor de \,11{,}101_2
1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 + 1\cdot 2^{-1} + 0\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3} = 2 + 1 + 0{,}5 + 0 + 0{,}125 = 3{,}625.
Confere certinho — está correto. Boa! Você faz isso na prova sem problema se decorou o método.

Resposta

\,3{,}625_{10} = 11{,}101_2

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