Converta os números decimais abaixo para base 2 . No caso de dízimas, indique o padrão de repetição.
(j) 0,1

Passo 1

O enunciado pede para converter o número decimal 0,1 (base 10) para base 2 e, se for dízima periódica, indicar o padrão de repetição.
Informações dadas:
  • Número a converter: 0,1 (que é o mesmo que \dfrac{1}{10}).
    O que será entregue: a expansão em base 2 e a indicação do período (quando houver).

Passo 2

Vamos explicar o método que vou usar (método padrão e muito prático para frações): multiplicar a parte fracionária por 2 repetidas vezes. A cada multiplicação:
  • a parte inteira obtida (0 ou 1) é o próximo dígito binário depois da vírgula;
  • a parte fracionária resultante é usada na iteração seguinte.
    Se em algum passo a parte fracionária já apareceu antes, a sequência de dígitos entre as duas ocorrências vai se repetir indefinidamente (porque estamos lidando com uma fração racional, só existem finitamente muitos restos possíveis).

Passo 3

Começo representando o número como fração:
0,1 = \frac{1}{10}.
Agora aplico a multiplicação sucessiva por 2, registrando a parte inteira (bit) e a nova parte fracionária:
\frac{1}{10}\times 2 = \frac{1}{5}\quad\Rightarrow\quad\text{bit}_1 = 0,\\ \text{fracao}=\frac{1}{5}.
\frac{1}{5}\times 2 = \frac{2}{5}\quad\Rightarrow\quad\text{bit}_2 = 0,\\ \text{fracao}=\frac{2}{5}.
\frac{2}{5}\times 2 = \frac{4}{5}\quad\Rightarrow\quad\text{bit}_3 = 0,\\ \text{fracao}=\frac{4}{5}.
\frac{4}{5}\times 2 = \frac{8}{5}=1+\frac{3}{5}\quad\Rightarrow\quad\text{bit}_4 = 1,\\ \text{fracao}=\frac{3}{5}.
\frac{3}{5}\times 2 = \frac{6}{5}=1+\frac{1}{5}\quad\Rightarrow\quad\text{bit}_5 = 1,\\ \text{fracao}=\frac{1}{5}.

Passo 4

Observação importante: após a quinta multiplicação a parte fracionária voltou a ser \dfrac{1}{5}, que já havia aparecido após a primeira multiplicação. Isso significa que os bits obtidos entre essas duas ocorrências vão se repetir indefinidamente.
A sequência de bits obtida, em ordem, foi:
\text{bit}_1,\text{bit}_2,\text{bit}_3,\text{bit}_4,\text{bit}_5 = 0,0,0,1,1.
Como a fração retornou a \dfrac{1}{5} (mesma que após a primeira multiplicação), os bits \text{bit}_2 a \text{bit}_5, ou seja 0,0,1,1, vão repetir periodicamente. Portanto a expansão binária é
0,0001100110011\ldots_2,
onde o bloco 0011 se repete.
Uma forma compacta de escrever isso é:
0,1_{10} = 0,0\overline{0011}_2.

Passo 5

Vou fazer uma checagem algébrica simples para confirmar e fixar a ideia. Seja
z = 0,\overline{0011}_2.
Como o período tem comprimento 4, multiplicando por 2^{4}=16 desloca o período:
16z = 11,\overline{0011}_2.
O bloco 11_2 vale 3 em decimal, portanto
16z = 3 + z \quad\Rightarrow\quad 15z = 3 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}.
Como o número procurado é 0,0\overline{0011}_2, isto é, um deslocamento de uma casa binária de z, temos
0,0\overline{0011}_2 = \frac{z}{2} = \frac{1}{10},
confirmando que a expansão está correta.

Resposta

0,1_{10} = 0,0001100110011\ldots_2 = 0,0\overline{0011}_2

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