Converta os números decimais abaixo para base 2 . No caso de dízimas, indique o padrão de repetição.
42

Passo 1

O enunciado pede para converter os números decimais abaixo para a base 2. O número fornecido é:
42
O que se espera: escrever a representação em base 2 (binária) e, se houver dízima periódica na parte fracionária, indicar o padrão de repetição. Neste caso o número é inteiro (não tem parte fracionária), então vamos achar a representação binária finita correspondente.

Passo 2

Breve explicação do método (bem passo a passo, como um macete prático).
  • Em base 2, cada dígito (bit) representa uma potência de 2: da direita para a esquerda são 2^0,2^1,2^2,\dots.
  • Para converter um inteiro positivo N para base 2 use o processo de divisões sucessivas por 2: dividir N por 2, anotar o resto (que será 0 ou 1), continuar com o quociente até o quociente chegar a 0. Os restos, lidos de baixo para cima (último resto obtido para o primeiro), formam os dígitos binários.
  • Outra visão: decompor N como soma de potências de 2. Isso ajuda a entender por que os restos dão os bits.
Vou aplicar ambos (divisões e soma de potências) para fixar.

Passo 3

Realizando as divisões sucessivas por 2 em 42 e anotando restos (cada linha: quociente \div 2 → resto):
\begin{array}{l} 42 \div 2 = 21,\\ \text{resto }0\\[4pt] 21 \div 2 = 10,\\ \text{resto }1\\[4pt] 10 \div 2 = 5,\\ \text{resto }0\\[4pt] 5 \div 2 = 2,\\ \text{resto }1\\[4pt] 2 \div 2 = 1,\\ \text{resto }0\\[4pt] 1 \div 2 = 0,\\ \text{resto }1 \end{array}
Agora leio os restos de baixo para cima (do último obtido para o primeiro): 1,0,1,0,1,0. Portanto a sequência de bits é 101010.]

Passo 4

Verificação pela decomposição em potências de 2. Primeiro enumero potências de 2 próximas:
2^0=1,\quad 2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8,\quad 2^4=16,\quad 2^5=32,\quad 2^6=64.
Como 42<64 e 42\ge 32, o maior termo usado é 2^5=32. Subtrai-se sucessivamente:
42-32=10.
O próximo maior potência \le 10 é 2^3=8:
10-8=2.
O próximo é 2^1=2:
2-2=0.
Logo
42 = 2^5 + 2^3 + 2^1.
Escrevendo isso em bits (posições de 2^5 até 2^0): posição 5 = 1, 4= 0, 3= 1, 2= 0, 1= 1, 0= 0. Portanto o número binário é 101010_2.

Passo 5

Checagem final (converter de volta para decimal para confirmar):
1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42.
Confere certinho. Como o número original não tinha parte fracionária, não há dízima periódica a indicar.

Resposta

\,42_{10} = 101010_2

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