Converta os seguintes números decimais para sua forma binária:
(d) 523,17

Passo 1

O que o enunciado pede: converter o número decimal 523{,}17 para a sua representação em base 2 (binária).
Informações dadas:
  • Parte inteira: 523.
  • Parte fracionária: 0{,}17 (ou seja \dfrac{17}{100}).
Vou fazer a conversão separando a parte inteira e a parte fracionária.

Passo 2

Converter a parte inteira 523 para binário (método: divisões sucessivas por 2).
Regra rápida: dividir por 2 sucessivamente; cada resto é 0 ou 1; os bits ficam na ordem dos restos lidos de baixo para cima (último resto é o bit mais significativo).
Divisões:
\begin{array}{l} 523 \div 2 = 261\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 261 \div 2 = 130\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 130 \div 2 = 65\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 65 \div 2 = 32\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 32 \div 2 = 16\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 16 \div 2 = 8\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 8 \div 2 = 4\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 4 \div 2 = 2\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 2 \div 2 = 1\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 1 \div 2 = 0\\ \text{resto}\\\ 1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos o binário da parte inteira:
523_{10} = 1000001011_2.
Explicação curta (para gravar na prova): o último resto (quando o quociente chega a 0) é o bit mais à esquerda; seguindo para cima dá a palavra binária.

Passo 3

Converter a parte fracionária 0{,}17 = \dfrac{17}{100} para binário (método: multiplicações sucessivas por 2).
Regra rápida: multiplicar a fração por 2; a parte inteira do resultado ( 0 ou 1) é o próximo bit; repetir com a parte fracionária restante. Para frações racionais pode ocorrer repetição (período).
Vou usar a forma \dfrac{n}{100} para evitar erros de arredondamento e registrar cada passo:
\begin{array}{ll} 2\cdot\dfrac{17}{100}=\dfrac{34}{100}=0{,}34 & \Rightarrow\\ \text{bit }b_1=0,\\ \text{resto }\dfrac{34}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{34}{100}=\dfrac{68}{100}=0{,}68 & \Rightarrow\\ b_2=0,\\ \text{resto }\dfrac{68}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{68}{100}=\dfrac{136}{100}=1{,}36 & \Rightarrow\\ b_3=1,\\ \text{resto }\dfrac{36}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{36}{100}=\dfrac{72}{100}=0{,}72 & \Rightarrow\\ b_4=0,\\ \text{resto }\dfrac{72}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{72}{100}=\dfrac{144}{100}=1{,}44 & \Rightarrow\\ b_5=1,\\ \text{resto }\dfrac{44}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{44}{100}=\dfrac{88}{100}=0{,}88 & \Rightarrow\\ b_6=0,\\ \text{resto }\dfrac{88}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{88}{100}=\dfrac{176}{100}=1{,}76 & \Rightarrow\\ b_7=1,\\ \text{resto }\dfrac{76}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{76}{100}=\dfrac{152}{100}=1{,}52 & \Rightarrow\\ b_8=1,\\ \text{resto }\dfrac{52}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{52}{100}=\dfrac{104}{100}=1{,}04 & \Rightarrow\\ b_9=1,\\ \text{resto }\dfrac{4}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{4}{100}=\dfrac{8}{100}=0{,}08 & \Rightarrow\\ b_{10}=0,\\ \text{resto }\dfrac{8}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{8}{100}=\dfrac{16}{100}=0{,}16 & \Rightarrow\\ b_{11}=0,\\ \text{resto }\dfrac{16}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{16}{100}=\dfrac{32}{100}=0{,}32 & \Rightarrow\\ b_{12}=0,\\ \text{resto }\dfrac{32}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{32}{100}=\dfrac{64}{100}=0{,}64 & \Rightarrow\\ b_{13}=0,\\ \text{resto }\dfrac{64}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{64}{100}=\dfrac{128}{100}=1{,}28 & \Rightarrow\\ b_{14}=1,\\ \text{resto }\dfrac{28}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{28}{100}=\dfrac{56}{100}=0{,}56 & \Rightarrow\\ b_{15}=0,\\ \text{resto }\dfrac{56}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{56}{100}=\dfrac{112}{100}=1{,}12 & \Rightarrow\\ b_{16}=1,\\ \text{resto }\dfrac{12}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{12}{100}=\dfrac{24}{100}=0{,}24 & \Rightarrow\\ b_{17}=0,\\ \text{resto }\dfrac{24}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{24}{100}=\dfrac{48}{100}=0{,}48 & \Rightarrow\\ b_{18}=0,\\ \text{resto }\dfrac{48}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{48}{100}=\dfrac{96}{100}=0{,}96 & \Rightarrow\\ b_{19}=0,\\ \text{resto }\dfrac{96}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{96}{100}=\dfrac{192}{100}=1{,}92 & \Rightarrow\\ b_{20}=1,\\ \text{resto }\dfrac{92}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{92}{100}=\dfrac{184}{100}=1{,}84 & \Rightarrow\\ b_{21}=1,\\ \text{resto }\dfrac{84}{100}\\[4pt] 2\cdot\dfrac{84}{100}=\dfrac{168}{100}=1{,}68 & \Rightarrow\\ b_{22}=1,\\ \text{resto }\dfrac{68}{100} \end{array}
Repare que \dfrac{68}{100} já apareceu no passo 2 (resto após b_2). Ao retornar a um mesmo resto, a sequência de bits repete a partir desse ponto. Aqui a primeira ocorrência de \dfrac{68}{100} foi após b_2 e reapareceu após b_{22}, logo o período tem comprimento 22-2=20 bits.
Portanto os bits da fracção são:
b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 b_7 b_8 b_9 b_{10} b_{11} b_{12} b_{13} b_{14} b_{15} b_{16} b_{17} b_{18} b_{19} b_{20} b_{21} b_{22}\ldots
=0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\ldots
A partir de b_3 até b_{22} temos o bloco periódico de 20 bits:
10101110000101000111.
Assim a parte fracionária em binário é
0{,}00\overline{10101110000101000111}_2,
onde a linha sobre os 20 bits indica repetição infinita.]

Passo 4

Combinar parte inteira e parte fracionária:
523{,}17_{10} = 1000001011{,}00\overline{10101110000101000111}_2.
Se for necessário um arredondamento prático (por exemplo 24 casas fracionárias), pode-se escrever os primeiros bits:
523{,}17_{10} \approx 1000001011{,}0010101110000101000111_2
(cortando depois de 24 bits fracionários, lembrando que é aproximação).

Resposta

1000001011{,}00\overline{10101110000101000111}_2

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