Converta os seguintes números octais para decimal: (17)s, (345)s, (777)s.

Passo 1

O enunciado pede para converter três números escritos em base octal (base 8) para a base decimal (base 10). Os números dados são:
(17)_s,\\ (345)_s,\\ (777)_s.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada número está em base octal (isto é, em base 8); por clareza vou escrever essa base como (\cdot)_8.
  • Os dígitos em base 8 só podem ser 0,1,2,3,4,5,6,7.
  • Os números a converter são, reescrevendo na notação padrão: (17)_8,\\ (345)_8,\\ (777)_8.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida, sem pressa).
  • Em qualquer sistema posicional (como o octal ou decimal), cada dígito tem um peso que é uma potência da base.
  • Para um número octal com dígitos d_n d_{n-1}\ldots d_1 d_0 (onde d_0 é o dígito das unidades), o valor em decimal é dado por
\sum_{k=0}^{n} d_k 8^{k}.
Explicando cada símbolo:
  • d_k é o dígito na posição k (com k=0 sendo unidades, k=1 sendo “oito”, k=2 sendo “oitenta e quatro” que é 8^2, etc.);
  • 8^{k} é a potência de base 8 associada à posição k;
  • O somatório soma as contribuições de todas as posições.
    Também é útil lembrar as primeiras potências de 8:
8^{0}=1,\qquad 8^{1}=8,\qquad 8^{2}=64,\qquad 8^{3}=512.

Passo 3

Converter (17)_8.
  • Identificar dígitos e posições: o número tem dois dígitos: d_1=1 e d_0=7.
  • Aplicar a fórmula:
(17)_8 = 1\cdot 8^{1} + 7\cdot 8^{0}.
  • Calcular potências e produtos:
1\cdot 8^{1} = 1\cdot 8 = 8, \qquad 7\cdot 8^{0} = 7\cdot 1 = 7.
  • Somar as contribuições:
8 + 7 = 15.
Portanto (17)_8 = 15 em decimal.

Passo 4

Converter (345)_8.
  • Identificar dígitos e posições: d_2=3,\\ d_1=4,\\ d_0=5.
  • Aplicar a fórmula:
(345)_8 = 3\cdot 8^{2} + 4\cdot 8^{1} + 5\cdot 8^{0}.
  • Calcular potências e produtos:
8^{2}=64,\quad 3\cdot 64 = 192,
8^{1}=8,\quad 4\cdot 8 = 32,
8^{0}=1,\quad 5\cdot 1 = 5.
  • Somar as contribuições passo a passo:
192 + 32 = 224,
224 + 5 = 229.
Portanto (345)_8 = 229 em decimal.

Passo 5

Converter (777)_8.
  • Identificar dígitos: d_2=7,\\ d_1=7,\\ d_0=7.
  • Aplicar a fórmula:
(777)_8 = 7\cdot 8^{2} + 7\cdot 8^{1} + 7\cdot 8^{0}.
  • Calcular potências e produtos:
8^{2}=64,\quad 7\cdot 64 = 448,
8^{1}=8,\quad 7\cdot 8 = 56,
8^{0}=1,\quad 7\cdot 1 = 7.
  • Somar as contribuições:
448 + 56 = 504,
504 + 7 = 511.
Um comentário útil (truque): (777)_8 é o maior número com três dígitos em base 8; seu valor decimal é 8^{3}-1 = 512-1 = 511, que confirma o resultado acima.
Portanto (777)_8 = 511 em decimal.

Resposta

(17)_8 = 15\n
(345)_8 = 229\n
(777)_8 = 511

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