Suponha que tenhamos um valor aproximado de 200000 para um valor exato de 200200. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.

Passo 1

O enunciado dá um valor aproximado e um valor exato e pede os erros absoluto, relativo e percentual. Vou listar o que temos:
  • Valor aproximado: \tilde{x} = 200000.
  • Valor exato: x = 200200.
    As perguntas são:
  • Calcular o erro absoluto.
  • Calcular o erro relativo.
  • Calcular o erro percentual.

Passo 2

Definições e fórmulas (explicação didática):
  • Erro absoluto: é a diferença entre o valor aproximado e o valor exato, em módulo. Serve para dizer “quanto” eu errei em unidades do problema. Fórmula:
E_{\text{abs}} = \left|\tilde{x} - x\right|.
Aqui \tilde{x} é o valor aproximado e x é o valor exato.
  • Erro relativo: é o erro absoluto dividido pelo valor exato (ou pelo valor de referência), é adimensional e indica a fração do valor exato que foi perdida/ganha. Fórmula:
E_{\text{rel}} = \frac{E_{\text{abs}}}{\left|x\right|}.
  • Erro percentual: é o erro relativo expresso em porcentagem; multiplica-se o erro relativo por 100\%:
E_{\%} = 100\% \cdot E_{\text{rel}}.
Explicação prática: o erro absoluto diz “errei 200 unidades”; o erro relativo diz “isso é uma pequena fração do valor exato”; o erro percentual dá essa fração em porcentagem, que costuma ser mais intuitiva.

Passo 3

Cálculo do erro absoluto passo a passo:
E_{\text{abs}}=\left|\tilde{x}-x\right|=\left|200000-200200\right|.
Calcule a diferença:
200000-200200=-200.
Tomando o valor absoluto:
E_{\text{abs}}=200.
Interpretação: o valor aproximado está 200 unidades abaixo do exato.

Passo 4

Cálculo do erro relativo como fração e simplificação:
Use a fórmula \;E_{\text{rel}}=\dfrac{E_{\text{abs}}}{|x|}\;.
Substituindo:
E_{\text{rel}}=\frac{200}{200200}.
Note que 200200=200\cdot1001, então podemos simplificar dividindo por 200:
E_{\text{rel}}=\frac{1}{1001}.
Isso é uma forma exata e muito conveniente para apresentar o erro relativo.

Passo 5

Converter o erro relativo para decimal (sem calculadora, raciocínio rápido):
  • Sabendo que \dfrac{1}{1000}=0,001, e que \dfrac{1}{1001} é um pouco menor que \dfrac{1}{1000}, a decimal de \dfrac{1}{1001} é aproximadamente 0,000999000999\ldots (uma repetição curta). Então:
E_{\text{rel}}\approx 0,000999000999\ldots
(essa repetição vem do fato de divisão por 1001; para a prova, 0,001 como estimativa grosseira ou 0,000999 com três casas decimais já é aceitável, dependendo do critério).
Agora o erro percentual:
E_{\%}=100\%\cdot E_{\text{rel}}=100\%\cdot\frac{1}{1001}.
Multiplicando por 100\% move a vírgula duas casas:
E_{\%}\approx 0,0999000999\%\approx 0,0999\%.
Interpretação: o erro corresponde a cerca de 0,1\%, ou seja, muito pequeno.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova:
  • Sempre calcule primeiro o erro absoluto; é simples e evita confusão de sinais.
  • Para erro relativo, simplifique a fração antes de calcular o decimal — muitas vezes dá uma fração simples como \dfrac{1}{1001}.
  • Para converter para porcentagem, multiplique por 100\% (ou mova a vírgula duas casas).
  • Se precisar arredondar, indique quantas casas decimais ou algarismos significativos o exercício pede; caso contrário, apresentar a fração exata e uma aproximação decimal é bom.

Resposta

E_{\text{abs}} = 200
E_{\text{rel}} = \dfrac{1}{1001} \approx 0,000999000999
E_{\%} \approx 0,0999000999\%

Exercícios relacionados